Subiectul BAC Mate șt. naturii 2026 · Rezervă august

SUBIECTUL I (30 de puncte)

1. (5p) Arătați că $i(6-i)+3(3-2i)=10$, unde $i^2=-1$.

2. (5p) Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $f(x)=x^2-4x$. Determinați abscisele punctelor de intersecție a graficului funcției $f$ cu axa $Ox$.

3. (5p) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $7^{3x-2}=7^{-x}\cdot49$.

4. (5p) Determinați câte numere naturale impare, de două cifre distincte, se pot forma cu cifre din mulțimea $A=\{2,3,4,5,8,9\}$.

5. (5p) În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(5,2)$, $B(7,4)$ și $C$, astfel încât $A$ este mijlocul segmentului $BC$. Determinați lungimea segmentului $OC$.

6. (5p) Se consideră triunghiul $ABC$, dreptunghic în $A$, cu $AB=2$ și $BC=4$. Arătați că $AD=\sqrt3$, unde $AD$ este înălțime a triunghiului $ABC$.

SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

1. Se consideră matricele $I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}$ și $A(x)=\begin{pmatrix}x-2&-1-x\\3x&x+4\end{pmatrix}$, unde $x$ este număr real.

• a) (5p) Arătați că $\det(A(2))=18$.
• b) (5p) Arătați că matricea $B=4I_2-A(1)$ este inversa matricei $A(1)$.
• c) (5p) Determinați matricea $X\in M_2(\mathbb{R})$ pentru care $12X-3A(1)\cdot X=A(5)$.

2. Se consideră polinomul $f=X^3+2X^2+mX+4$, unde $m$ este număr real.

• a) (5p) Pentru $m=2$, arătați că $f(-2)=0$.
• b) (5p) Pentru $m=1$, determinați restul împărțirii polinomului $f$ la polinomul $g=X+1$.
• c) (5p) Determinați rădăcinile polinomului $f$, știind că produsul a două dintre acestea este egal cu $1$.

SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

1. Se consideră funcția $f:(-1,+\infty)\to\mathbb{R}$, $f(x)=\dfrac{x^2+3x+1}{x+1}$.

• a) (5p) Arătați că $f'(x)=\dfrac{x^2+2x+2}{(x+1)^2}$, $x\in(-1,+\infty)$.
• b) (5p) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $f$ în punctul de abscisă $x=0$, situat pe graficul funcției $f$.
• c) (5p) Demonstrați că funcția $f$ este concavă.

2. Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $f(x)=3x^2+4+e^x$.

• a) (5p) Arătați că $\displaystyle\int_0^1(f(x)-3x^2)\,dx=e+3$.
• b) (5p) Arătați că $\displaystyle\int_0^2\dfrac{x}{f(x)-e^x}\,dx=\dfrac{\ln2}3$.
• c) (5p) Se consideră $G:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, o primitivă a funcției $g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $g(x)=f(x^2)-3x^4$. Știind că $\displaystyle\int_0^1G(x)\,dx=\dfrac{1-e}2$, arătați că $G(1)=2$.

---

Sursă PDF: Documentul oficial, publicat de Ministerul Educației și Cercetării.