Subiectul BAC Mate șt. naturii 2026 · Iulie–August

SUBIECTUL I (30 de puncte)

1. (5p) Se consideră numerele complexe $z_1=2-3i$ și $z_2=1-2i$. Arătați că $iz_1+z_2=4$.

2. (5p) Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $f(x)=x+3$. Determinați numărul real $a$ pentru care $f(a+2)=a+f(a)$.

3. (5p) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\sqrt{2x}=\sqrt{x^2-x+2}$.

4. (5p) Determinați probabilitatea ca, alegând un număr $n$ din mulțimea numerelor naturale de o cifră, acesta să verifice inegalitatea $3n^2>100$.

5. (5p) În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(6,0)$, $B(8,2)$ și $C(1,9)$. Determinați distanța dintre punctul $C$ și mijlocul segmentului $AB$.

6. (5p) Se consideră triunghiul $ABC$, cu $AC=9$ și $\widehat B=\dfrac\pi3$. Arătați că raza cercului circumscris triunghiului $ABC$ este egală cu $3\sqrt3$.

SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

1. Se consideră matricea $A(x,y)=\begin{pmatrix}x+y&xy\\4&x+y\end{pmatrix}$, unde $x$ și $y$ sunt numere reale.

• a) (5p) Arătați că $\det(A(1,2))=1$.
• b) (5p) Arătați că matricea $A(x,y)$ este inversabilă, pentru orice numere reale distincte $x$ și $y$.
• c) (5p) Determinați numerele reale $x$ și $y$ pentru care $A(x,2)\cdot A(x,2)=4A(y,0)$.

2. Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $x*y=5-\dfrac{x+y}2+xy$.

• a) (5p) Arătați că $1*3=6$.
• b) (5p) Determinați numărul real $x$ pentru care $x*5=2x$.
• c) (5p) Determinați perechile $(m,n)$ de numere naturale pentru care $(m-n)*(m+n)=m^2$.

SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

1. Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $f(x)=\dfrac{x^2+8x-2}{x^2+2}$.

• a) (5p) Arătați că $f'(x)=\dfrac{8(x+1)(2-x)}{(x^2+2)^2}$, $x\in\mathbb{R}$.
• b) (5p) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre $+\infty$ la graficul funcției $f$.
• c) (5p) Demonstrați că $-2\leq f(x)-f(y)\leq2$, pentru orice $x,y\in[-4,0]$.

2. Se consideră funcția $f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}$, $f(x)=5x^2-3+\ln x$.

• a) (5p) Arătați că $\displaystyle\int_1^2(f(x)-\ln x)\,dx=\dfrac{26}3$.
• b) (5p) Arătați că $\displaystyle\int_1^e\dfrac1x(f(x)-5x^2+3)\,dx=\dfrac12$.
• c) (5p) Determinați numărul real $m$ pentru care aria suprafeței plane delimitate de graficul funcției $g:(0,+\infty)\to\mathbb{R}$, $g(x)=\dfrac{f(x)+3}{\sqrt x}$, axa $Ox$ și dreptele de ecuații $x=1$ și $x=4$ este egală cu $58+m\ln2$.

---

Sursă PDF: Documentul oficial, publicat de Ministerul Educației și Cercetării.