Barem oficial BAC Mate șt. naturii 2026 · Iulie–August

SUBIECTUL I (30 de puncte)

1.

$iz_1+z_2=i(2-3i)+1-2i=2i-3i^2+1-2i$ (2p) $=4$ (3p).

2.

$f(a+2)=a+5$, $f(a)=a+3$ (2p). Din $a+5=a+a+3$ rezultă $a=2$ (3p).

3.

$2x=x^2-x+2$, deci $x^2-3x+2=0$ (2p). Rezultă $x=1$ sau $x=2$, care convin (3p).

4.

Sunt $10$ cazuri posibile (2p). Inegalitatea este verificată de $6$, $7$, $8$, $9$, deci $p=\dfrac4{10}=\dfrac25$ (3p).

5.

Mijlocul lui $AB$ este $M(7,1)$ (3p). Atunci $CM=\sqrt{6^2+8^2}=10$ (2p).

6.

$2R=\dfrac{AC}{\sin B}=\dfrac9{\sin B}$ (3p). Cum $\sin\dfrac\pi3=\dfrac{\sqrt3}2$, rezultă $R=3\sqrt3$ (2p).

SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

1. a)

$A(1,2)=\begin{pmatrix}3&2\\4&3\end{pmatrix}$, deci $\det(A(1,2))=3\cdot3-2\cdot4$ (3p) $=1$ (2p).

1. b)

$\det(A(x,y))=(x+y)^2-4xy=(x-y)^2$ (3p). Cum $x\neq y$, determinantul este nenul, deci matricea este inversabilă (2p).

1. c)

$A(x,2)^2=\begin{pmatrix}x^2+12x+4&4x^2+8x\\8x+16&x^2+12x+4\end{pmatrix}$ și $4A(y,0)=\begin{pmatrix}4y&0\\16&4y\end{pmatrix}$ (3p). Egalând elementele corespunzătoare, obținem $x=0$, $y=1$ (2p).

2. a)

$1*3=5-\dfrac{1+3}2+1\cdot3$ (3p) $=6$ (2p).

2. b)

$x*5=\dfrac{9x+5}2$ (3p). Din $\dfrac{9x+5}2=2x$ rezultă $x=-1$ (2p).

2. c)

$(m-n)*(m+n)=5-m+m^2-n^2$, deci $m+n^2=5$ (2p). Perechile naturale sunt $(1,2)$, $(4,1)$ și $(5,0)$ (3p).

SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

1. a)

$f\prime(x)=\dfrac{(2x+8)(x^2+2)-(x^2+8x-2)\cdot2x}{(x^2+2)^2}$ (3p) $=\dfrac{-8x^2+8x+16}{(x^2+2)^2}=\dfrac{8(x+1)(2-x)}{(x^2+2)^2}$ (2p).

1. b)

$\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{x^2+8x-2}{x^2+2}=\lim_{x\to+\infty}\dfrac{1+8/x-2/x^2}{1+2/x^2}=1$ (3p), deci asimptota orizontală este $y=1$ (2p).

1. c)

Funcția este descrescătoare pe $[-4,-1]$ și crescătoare pe $[-1,0]$ (2p). Cum $f(-4)=f(0)=-1$ și $f(-1)=-3$, avem $-3\leq f(x),f(y)\leq-1$, deci $-2\leq f(x)-f(y)\leq2$ (3p).

2. a)

$\displaystyle\int_1^2(f(x)-\ln x)dx=\int_1^2(5x^2-3)dx=\left[\dfrac{5x^3}3-3x\right]_1^2$ (3p) $=\dfrac{35}3-3=\dfrac{26}3$ (2p).

2. b)

$\displaystyle\int_1^e\dfrac{f(x)-5x^2+3}{x}dx=\int_1^e\dfrac{\ln x}x dx=\left[\dfrac{\ln^2 x}2\right]_1^e$ (3p) $=\dfrac12$ (2p).

2. c)

$g(x)=\dfrac{5x^2+\ln x}{\sqrt x}$, deci $\displaystyle A=\int_1^4\left(5x\sqrt x+(2\sqrt x)\prime\ln x\right)dx$ (2p) $=[2x^2\sqrt x+2\sqrt x\ln x-4\sqrt x]_1^4=58+8\ln2$, de unde $m=8$ (3p).

---

Sursă PDF: Documentul oficial, publicat de Ministerul Educației și Cercetării.

Sursă: Arhiva oficială a Ministerului Educației și Cercetării.