Barem oficial BAC Mate șt. naturii 2026 · Rezervă august

SUBIECTUL I (30 de puncte)

1.

$i(6-i)+3(3-2i)=6i-i^2+9-6i$ (3p) $=1+9=10$ (2p).

2.

$f(x)=0$ înseamnă $x^2-4x=0$ (3p). Abscisele sunt $0$ și $4$ (2p).

3.

$7^{3x-2}=7^{-x+2}$, deci $3x-2=-x+2$ (3p). Rezultă $x=1$ (2p).

4.

Cifra unităților se poate alege în $3$ moduri (2p), iar cifra zecilor în $5$ moduri, deci se pot forma $3\cdot5=15$ numere (3p).

5.

Din condiția de mijloc rezultă $\dfrac{7+x_C}2=5$ și $\dfrac{4+y_C}2=2$ (2p). Atunci $C(3,0)$, deci $OC=3$ (3p).

6.

$AC=2\sqrt3$ și $\dfrac{2\cdot2\sqrt3}2=\dfrac{AD\cdot4}2$ (3p), de unde $AD=\sqrt3$ (2p).

SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

1. a)

$A(2)=\begin{pmatrix}0&-3\\6&6\end{pmatrix}$, deci $\det(A(2))=0\cdot6-(-3)\cdot6$ (3p) $=18$ (2p).

1. b)

$A(1)=\begin{pmatrix}-1&-2\\3&5\end{pmatrix}$, $B=\begin{pmatrix}5&2\\-3&-1\end{pmatrix}$ (2p). Verificăm $A(1)B=BA(1)=I_2$, deci $B=(A(1))^{-1}$ (3p).

1. c)

$3(4I_2-A(1))X=A(5)$, unde $A(5)=\begin{pmatrix}3&-6\\15&9\end{pmatrix}$ (2p). Deoarece $(4I_2-A(1))^{-1}=A(1)$, obținem $X=\dfrac13A(1)A(5)=\begin{pmatrix}-11&-4\\28&9\end{pmatrix}$ (3p).

2. a)

Pentru $m=2$, $f(-2)=(-2)^3+2(-2)^2+2(-2)+4$ (3p) $=-8+8-4+4=0$ (2p).

2. b)

Pentru $m=1$, $f(-1)=(-1)^3+2(-1)^2-1+4$ (3p) $=4$, deci restul este $4$ (2p).

2. c)

Notăm $x_1x_2=1$. Cum $x_1x_2x_3=-4$, rezultă $x_3=-4$ (2p). Din $x_1+x_2+x_3=-2$ obținem $x_1+x_2=2$, deci $x_1=x_2=1$ (3p).

SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

1. a)

$f\prime(x)=\dfrac{(2x+3)(x+1)-(x^2+3x+1)}{(x+1)^2}$ (3p) $=\dfrac{x^2+2x+2}{(x+1)^2}$ (2p).

1. b)

$f(0)=1$, $f\prime(0)=2$ (2p), deci tangenta este $y=2x+1$ (3p).

1. c)

$f\prime\prime(x)=-\dfrac2{(x+1)^3}$, $x>-1$ (3p). Aceasta este nepozitivă pe domeniu, deci $f$ este concavă (2p).

2. a)

$\displaystyle\int_0^1(f(x)-3x^2)dx=\int_0^1(4+e^x)dx=[4x+e^x]_0^1$ (3p) $=e+3$ (2p).

2. b)

$\displaystyle\int_0^2\dfrac{x}{f(x)-e^x}dx=\int_0^2\dfrac{x}{3x^2+4}dx=\dfrac16[\ln(3x^2+4)]_0^2$ (3p) $=\dfrac{\ln16-\ln4}6=\dfrac{\ln2}3$ (2p).

2. c)

Integrarea prin părți dă $\displaystyle\int_0^1G(x)dx=[xG(x)]_0^1-\int_0^1xg(x)dx=G(1)-\int_0^1(4x+xe^{x^2})dx$ (3p) $=G(1)-\dfrac{e+3}2$. Egalând cu $\dfrac{1-e}2$, rezultă $G(1)=2$ (2p).

---

Sursă PDF: Documentul oficial, publicat de Ministerul Educației și Cercetării.

Sursă: Arhiva oficială a Ministerului Educației și Cercetării.