Subiectul BAC Mate șt. naturii 2026 · Iunie–Iulie

SUBIECTUL I (30 de puncte)

1. (5p) Arătați că $(4{,}9-3{,}4):3+2{,}5=3$.

2. (5p) Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $f(x)=2x-21$. Determinați numărul real $a$ pentru care punctul $A(-3a,a)$ aparține graficului funcției $f$.

3. (5p) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\log_7(1+2x-x^2)=\log_7(3-x)$.

4. (5p) Determinați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta să fie multiplu impar de $11$.

5. (5p) În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(0,5)$, $B(2,0)$ și $C(4,2)$. Arătați că triunghiul $ADC$ este isoscel, unde punctul $D$ este mijlocul segmentului $BC$.

6. (5p) Se consideră triunghiul $ABC$, dreptunghic în $A$, cu $\operatorname{tg} B=\dfrac13$ și aria egală cu $24$. Arătați că $AC=4$.

SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

1. Se consideră matricele $I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}$ și $A(a)=\begin{pmatrix}2a+2&-a\\a-3&1\end{pmatrix}$, unde $a$ este număr real.

• a) (5p) Arătați că $\det(A(1))=2$.
• b) (5p) Determinați numărul real $x$ pentru care $A(0)\cdot(6I_2-A(2)-A(-2))=xI_2$.
• c) (5p) Determinați matricea $X\in M_2(\mathbb{R})$ pentru care $A(1)\cdot X\cdot A(1)=4I_2$.

2. Se consideră polinomul $f=X^3-aX+2+a$, unde $a$ este număr real.

• a) (5p) Arătați că $f(1)=3$, pentru orice număr real $a$.
• b) (5p) Determinați numărul real $a$ pentru care polinomul $f$ este divizibil cu polinomul $g=X+2$.
• c) (5p) Determinați numărul real $a$ pentru care $x_1^3+x_2^3+x_3^3=x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3$, unde $x_1$, $x_2$ și $x_3$ sunt rădăcinile polinomului $f$.

SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

1. Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $f(x)=e^x(2x^2-3x)$.

• a) (5p) Arătați că $f'(x)=e^x(2x+3)(x-1)$, $x\in\mathbb{R}$.
• b) (5p) Arătați că $\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{f(x)-x}{f(x)+x}=2$.
• c) (5p) Determinați numerele reale $a$ pentru care tangenta la graficul funcției $f$ în punctul de abscisă $x=a$, situat pe graficul funcției $f$, are panta egală cu $0$.

2. Se consideră funcția $f:(-1,+\infty)\to\mathbb{R}$, $f(x)=(2x^2+4x)\sqrt{x+1}$.

• a) (5p) Arătați că $\displaystyle\int_0^3\dfrac{f(x)}{\sqrt{x+1}}\,dx=36$.
• b) (5p) Arătați că $\displaystyle\int_3^8\dfrac{x^2+2x}{f(x)}\,dx=1$.
• c) (5p) Se consideră funcția $g:(0,+\infty)\to\mathbb{R}$, $g(x)=\dfrac{4\sqrt{x+1}}{f(x)}$. Determinați aria suprafeței plane delimitate de graficul funcției $g$, axa $Ox$ și dreptele de ecuații $x=1$ și $x=4$.

---

Sursă PDF: Documentul oficial, publicat de Ministerul Educației și Cercetării.