Barem oficial BAC Mate șt. naturii 2026 · Iunie–Iulie

SUBIECTUL I (30 de puncte)

1.

$(4{,}9-3{,}4):3+2{,}5=1{,}5:3+2{,}5$ (2p) $=0{,}5+2{,}5=3$ (3p).

2.

Condiția este $f(-3a)=a$ (2p). Din $-6a-21=a$ rezultă $a=-3$ (3p).

3.

$1+2x-x^2=3-x$, deci $x^2-3x+2=0$ (2p). Rezultă $x=1$ sau $x=2$, care convin (3p).

4.

Sunt $90$ de cazuri posibile (2p). Multiplii impari de $11$ cu două cifre sunt $11$, $33$, $55$, $77$, $99$, deci $p=\dfrac5{90}=\dfrac1{18}$ (3p).

5.

$D(3,1)$ și $AD=5$ (3p). Cum $AC=5$, triunghiul $ADC$ este isoscel (2p).

6.

$\dfrac{AC}{AB}=\dfrac13$, deci $AB=3AC$ (2p). Din $\dfrac{AB\cdot AC}2=24$ rezultă $AC^2=16$, deci $AC=4$ (3p).

SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

1. a)

$A(1)=\begin{pmatrix}4&-1\\-2&1\end{pmatrix}$, deci $\det(A(1))=4\cdot1-(-1)(-2)$ (3p) $=2$ (2p).

1. b)

$A(0)=\begin{pmatrix}2&0\\-3&1\end{pmatrix}$ și $6I_2-A(2)-A(-2)=\begin{pmatrix}2&0\\6&4\end{pmatrix}$, iar produsul este $4I_2$ (3p). Rezultă $x=4$ (2p).

1. c)

Cum $\det(A(1))\neq0$, avem $X=4(A(1))^{-1}(A(1))^{-1}$ (2p). Din $(A(1))^{-1}=\begin{pmatrix}\frac12&\frac12\\1&2\end{pmatrix}$ rezultă $X=\begin{pmatrix}3&5\\10&18\end{pmatrix}$ (3p).

2. a)

$f(1)=1^3-a+2+a$ (3p) $=3$ (2p).

2. b)

$f(-2)=3a-6$ (3p). Din $3a-6=0$ rezultă $a=2$ (2p).

2. c)

$x_1+x_2+x_3=0$ și $x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3=-a$ (2p). Însumând $f(x_i)=0$, obținem $x_1^3+x_2^3+x_3^3=-3a-6$. Din $-3a-6=-a$ rezultă $a=-3$ (3p).

SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

1. a)

$f\prime(x)=e^x(2x^2-3x)+e^x(4x-3)$ (3p) $=e^x(2x^2+x-3)=e^x(2x+3)(x-1)$ (2p).

1. b)

Aplicăm regula lui l’Hôpital: $\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{f(x)-x}{f(x)+x}=\lim_{x\to0}\dfrac{f\prime(x)-1}{f\prime(x)+1}$ (2p) $=\dfrac{-3-1}{-3+1}=2$ (3p).

1. c)

$f\prime(a)=0$, deci $e^a(2a+3)(a-1)=0$ (3p). Rezultă $a=-\dfrac32$ sau $a=1$ (2p).

2. a)

$\displaystyle\int_0^3\dfrac{f(x)}{\sqrt{x+1}}dx=\int_0^3(2x^2+4x)dx=\left[\dfrac{2x^3}3+2x^2\right]_0^3$ (3p) $=36$ (2p).

2. b)

$\displaystyle\int_3^8\dfrac{x^2+2x}{f(x)}dx=\int_3^8\dfrac1{2\sqrt{x+1}}dx=[\sqrt{x+1}]_3^8$ (3p) $=3-2=1$ (2p).

2. c)

$g(x)=\dfrac2{x^2+2x}>0$, deci $\displaystyle A=\int_1^4g(x)dx=\int_1^4\left(\dfrac1x-\dfrac1{x+2}\right)dx$ (3p) $=[\ln x-\ln(x+2)]_1^4=\ln2$ (2p).

---

Sursă PDF: Documentul oficial, publicat de Ministerul Educației și Cercetării.

Sursă: Arhiva oficială a Ministerului Educației și Cercetării.