Subiectul BAC Mate șt. naturii 2026 · Sesiunea specială

SUBIECTUL I (30 de puncte)

1. (5p) Arătați că $2\sqrt2(3+\sqrt2)+3(1-2\sqrt2)=7$.

2. (5p) Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $f(x)=3x-10$. Determinați numărul real $a$ pentru care $f(2a)=f(a)-3$.

3. (5p) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\sqrt{4x^2-6x+5}=x\sqrt3$.

4. (5p) Determinați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta să aibă suma cifrelor cel mult egală cu $3$.

5. (5p) În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(0,3)$, $B(1,5)$ și $C(6,0)$. Arătați că triunghiul $ABC$ este dreptunghic în $A$.

6. (5p) Se consideră expresia $E(x)=\cos x\cdot\sin3x-\sin2x$, unde $x$ este număr real. Arătați că $E\left(\dfrac\pi6\right)=0$.

SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

1. Se consideră matricele $I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}$ și $A(x)=\begin{pmatrix}2x+1&0\\4x&x+1\end{pmatrix}$, unde $x$ este număr real.

• a) (5p) Arătați că $\det(A(1))=6$.
• b) (5p) Determinați numărul real $x$ pentru care $A(-2)\cdot A(1)-4I_2=A(x)$.
• c) (5p) Demonstrați că $\det\left(A(x)+A\left(\dfrac1x\right)-2I_2\right)\geq8$, pentru orice număr real nenul $x$.

2. Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $x\circ y=x^2-xy-x+2y+1$.

• a) (5p) Arătați că $1\circ1=2$.
• b) (5p) Determinați numerele reale $x$ pentru care $x\circ(2x)=1$.
• c) (5p) Determinați perechile $(m,n)$ de numere naturale pentru care $m\circ n=m$.

SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

1. Se consideră funcția $f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}$, $f(x)=(x-1)\sqrt x+\dfrac2{\sqrt x}$.

• a) (5p) Arătați că $f'(x)=\dfrac{3x^2-x-2}{2x\sqrt x}$, $x\in(0,+\infty)$.
• b) (5p) Arătați că $\displaystyle\lim_{x\to1}\dfrac{\sqrt x\cdot f'(x)}{5x-5}=\dfrac12$.
• c) (5p) Determinați imaginea funcției $f$.

2. Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $f(x)=(x^2+x)e^x$.

• a) (5p) Arătați că $\displaystyle\int_0^1\dfrac{f(x)}{e^x}\,dx=\dfrac56$.
• b) (5p) Arătați că $\displaystyle\int_1^2\dfrac{f(x)}x\,dx=e(2e-1)$.
• c) (5p) Determinați numărul real $a$ pentru care $\displaystyle\int_2^4\dfrac{xf(x)}{f(x-1)}\,dx=ae(5+\ln3)$.

---

Sursă PDF: Documentul oficial, publicat de Ministerul Educației și Cercetării.