Subiectul BAC Mate șt. naturii 2026 · Model

SUBIECTUL I (30 de puncte)

1. (5p) Se consideră numerele complexe $z_1=4-3i$ și $z_2=1-2i$. Arătați că $z_1+3iz_2=10$.

2. (5p) Se consideră funcțiile $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $f(x)=3-x$ și $g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $g(x)=2x+1$. Determinați numărul real $a$ pentru care $f(a)=3a+g(3)$.

3. (5p) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\log_4(x^2+4)=\log_4 x+\log_4 5$.

4. (5p) Determinați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta să aibă produsul cifrelor egal cu $4$.

5. (5p) În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(2,8)$, $B(0,4)$ și $C(a,b)$, unde $a$ și $b$ sunt numere reale. Determinați numerele reale $a$ și $b$, știind că segmentele $OA$ și $BC$ au același mijloc.

6. (5p) Se consideră triunghiul $ABC$, dreptunghic în $A$, cu $\widehat C=\dfrac\pi6$. Raza cercului circumscris triunghiului $ABC$ este egală cu $4$. Arătați că $AB=4$.

SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

1. Se consideră matricele $I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}$ și $A(x)=\begin{pmatrix}x-1&1\\1-x&x-5\end{pmatrix}$, unde $x$ este număr real.

• a) (5p) Arătați că $\det(A(6))=10$.
• b) (5p) Determinați numărul real $a$ pentru care $A(3)\cdot A(3)=aI_2$.
• c) (5p) Demonstrați că numărul $N=\det(A(m)\cdot A(2)-A(m-1))$ este natural, pentru orice număr întreg $m$.

2. Se consideră polinomul $f=X^3+aX^2-2X+2$, unde $a$ este număr real.

• a) (5p) Arătați că $f(0)=2$, pentru orice număr real $a$.
• b) (5p) Determinați numărul real $a$ pentru care $x_1x_2x_3(1+x_1+x_2+x_3)=4$, unde $x_1$, $x_2$ și $x_3$ sunt rădăcinile polinomului $f$.
• c) (5p) Știind că polinomul $f$ este divizibil cu polinomul $X+1$, determinați restul împărțirii lui $f$ la polinomul $X^2-2$.

SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

1. Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $f(x)=e^x(x^2+x-1)$.

• a) (5p) Arătați că $f'(x)=e^x(x^2+3x)$, $x\in\mathbb{R}$.
• b) (5p) Arătați că $\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{e^x+f(x)}{f'(x)}=\dfrac13$.
• c) (5p) Demonstrați că $e^{x+3}(x^2+x-1)\leq5$, pentru orice $x\in(-\infty,0]$.

2. Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $f(x)=x+\sqrt{2x^2+1}$.

• a) (5p) Arătați că $\displaystyle\int_3^5\left(f(x)-\sqrt{2x^2+1}\right)\,dx=8$.
• b) (5p) Arătați că $\displaystyle\int_1^2\dfrac{x}{(f(x)-x)^2}\,dx=\dfrac{\ln3}4$.
• c) (5p) Determinați numărul real $a$ pentru care volumul corpului obținut prin rotația graficului funcției $g:[0,2]\to\mathbb{R}$, $g(x)=f(x)$, în jurul axei $Ox$ este egal cu $\dfrac{a\pi}3$.

---

Sursă PDF: Documentul oficial, publicat de Ministerul Educației și Cercetării.