Subiectul BAC Mate șt. naturii 2026 · Simulare

SUBIECTUL I (30 de puncte)

1. (5p) Determinați termenul $a_4$ al progresiei aritmetice $(a_n)_{n\geq1}$, în care $a_1=2$ și $a_3=14$.

2. (5p) Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $f(x)=ax+3$, unde $a$ este număr real. Determinați numărul real $a$ pentru care $f(0)+(f\circ f)(0)=0$.

3. (5p) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $5^x-4\cdot5^{x-2}=105$.

4. (5p) Determinați câte numere naturale impare, de trei cifre distincte, se pot forma cu cifre din mulțimea $A=\{1,2,3,9\}$.

5. (5p) În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(1,0)$ și $B(5,4)$ și dreapta $d$ de ecuație $2x+ay=0$, unde $a$ este număr real. Determinați numărul real $a$ pentru care mijlocul segmentului $AB$ aparține dreptei $d$.

6. (5p) Se consideră triunghiul $ABC$, dreptunghic în $A$, cu $BC=12$ și $\widehat C=\dfrac\pi6$. Punctul $M$ aparține segmentului $AC$ astfel încât $3AM=AC$. Arătați că $BM=4\sqrt3$.

SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

1. Se consideră matricea $A(a)=\begin{pmatrix}1&a\\-a&1-a\end{pmatrix}$, unde $a$ este număr real.

• a) (5p) Arătați că $\det(A(1))=1$.
• b) (5p) Arătați că $A(a+b)-A(a)\cdot A(b)=abA(1)$, pentru orice numere reale $a$ și $b$.
• c) (5p) Determinați numerele reale $a$ pentru care $2A(2a)-A(a)\cdot A(a)-A(1)\cdot A(2a-1)=2A(1)$.

2. Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă $x\circ y=\dfrac16(x-5)(y-5)+5$, cu elementul neutru $e=11$.

• a) (5p) Arătați că $7\circ8=6$.
• b) (5p) Determinați numerele reale $x$ pentru care $x\circ(6x-1)=10$.
• c) (5p) Determinați numerele naturale $n$, $n\neq5$, ale căror simetrice în raport cu legea de compoziție „$\circ$” sunt numere naturale pare.

SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

1. Se consideră funcția $f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}$, $f(x)=\dfrac1x-1+4\ln(x+3)$.

• a) (5p) Arătați că $f'(x)=\dfrac{(x-1)(4x+3)}{x^2(x+3)}$, $x\in(0,+\infty)$.
• b) (5p) Arătați că $\displaystyle\lim_{x\to1}\dfrac{4\ln(x+3)-f(x)}{\ln x}=1$.
• c) (5p) Demonstrați că $\dfrac1{x^2}-\dfrac1x\geq4\ln\dfrac{x+3}{x^2+3}$, pentru orice $x\in(0,1]$.

2. Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $f(x)=(x^2+4x)e^{-x}$.

• a) (5p) Arătați că $\displaystyle\int_0^3f(x)e^x\,dx=27$.
• b) (5p) Arătați că $\displaystyle\int_{-1}^0\dfrac{f(x)}{x+4}\,dx=-1$.
• c) (5p) Se consideră funcția $g:(0,+\infty)\to\mathbb{R}$, $g(x)=\dfrac{f(x^2)}{x^2}$. Demonstrați că orice primitivă $G:(0,+\infty)\to\mathbb{R}$ a funcției $g$ este concavă.

---

Sursă PDF: Documentul oficial, publicat de Ministerul Educației și Cercetării.