Barem oficial BAC Mate șt. naturii 2026 · Simulare

SUBIECTUL I (30 de puncte)

1.

$2r=a_3-a_1$, deci rația este $r=6$ (3p). Rezultă $a_4=a_3+r=20$ (2p).

2.

$f(0)=3$, $(f\circ f)(0)=f(3)=3a+3$ (3p). Din $3+3a+3=0$ rezultă $a=-2$ (2p).

3.

$21\cdot5^{x-2}=105$, deci $5^{x-2}=5$ (3p). Rezultă $x-2=1$, deci $x=3$ (2p).

4.

Cifra unităților se poate alege în $3$ moduri (2p), cifra zecilor în $3$ moduri, iar cifra sutelor în $2$ moduri. Rezultă $3\cdot3\cdot2=18$ numere (3p).

5.

Mijlocul lui $AB$ este $M(3,2)$ (3p). Din $2\cdot3+2a=0$ rezultă $a=-3$ (2p).

6.

$AB=6$, $AC=6\sqrt3$ (2p). Atunci $AM=2\sqrt3$, deci $BM^2=AM^2+AB^2=48$ și $BM=4\sqrt3$ (3p).

SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

1. a)

$A(1)=\begin{pmatrix}1&1\\-1&0\end{pmatrix}$, deci $\det(A(1))=1\cdot0-1(-1)$ (3p) $=1$ (2p).

1. b)

$A(a+b)=\begin{pmatrix}1&a+b\\-a-b&1-a-b\end{pmatrix}$ și $A(a)A(b)=\begin{pmatrix}1-ab&a+b-ab\\-a-b+ab&1-a-b\end{pmatrix}$ (3p). Diferența este $\begin{pmatrix}ab&ab\\-ab&0\end{pmatrix}=abA(1)$ (2p).

1. c)

$A(2a)-A(a)^2=a^2A(1)$ și $A(2a)-A(1)A(2a-1)=(2a-1)A(1)$, deci membrul stâng este $(a^2+2a-1)A(1)$ (2p). Din $a^2+2a-1=2$ rezultă $a=-3$ sau $a=1$ (3p).

2. a)

$7\circ8=\dfrac16(7-5)(8-5)+5$ (3p) $=6$ (2p).

2. b)

$x\circ(6x-1)=x^2-6x+10$ (3p). Din $x^2-6x+10=10$ rezultă $x=0$ sau $x=6$ (2p).

2. c)

Dacă $n\prime$ este simetricul lui $n$, atunci $n\circ n\prime=n\prime\circ n=11$, deci $(n-5)(n\prime-5)=36$ (2p). Condițiile $n,n\prime\in\mathbb{N}$, $n\neq5$ și $n\prime$ par conduc la $n\in\{9,17,41\}$ (3p).

SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

1. a)

$f\prime(x)=-\dfrac1{x^2}+\dfrac4{x+3}$ (3p) $=\dfrac{4x^2-x-3}{x^2(x+3)}=\dfrac{(x-1)(4x+3)}{x^2(x+3)}$ (2p).

1. b)

$\displaystyle\lim_{x\to1}\dfrac{4\ln(x+3)-f(x)}{\ln x}=\lim_{x\to1}\dfrac{1-1/x}{\ln x}=\lim_{x\to1}\dfrac{1/x^2}{1/x}$ (3p) $=1$ (2p).

1. c)

$f\prime(x)\leq0$ pentru $x\in(0,1]$, deci $f$ este descrescătoare pe acest interval (2p). Cum $x\geq x^2$, rezultă $f(x)\leq f(x^2)$, adică $\dfrac1{x^2}-\dfrac1x\geq4\ln\dfrac{x+3}{x^2+3}$ (3p).

2. a)

$\displaystyle\int_0^3 f(x)e^x dx=\int_0^3(x^2+4x)dx=\left[\dfrac{x^3}3+2x^2\right]_0^3$ (3p) $=27$ (2p).

2. b)

$\displaystyle\int_{-1}^0\dfrac{f(x)}{x+4}dx=\int_{-1}^0 xe^{-x}dx=[-xe^{-x}-e^{-x}]_{-1}^0$ (3p) $=-1$ (2p).

2. c)

$G\prime(x)=g(x)=(x^2+4)e^{-x^2}$, deci $G\prime\prime(x)=2xe^{-x^2}+(x^2+4)(-2x)e^{-x^2}$ (3p) $=-2x(x^2+3)e^{-x^2}\leq0$ pentru $x>0$. Prin urmare, $G$ este concavă (2p).

---

Sursă PDF: Documentul oficial, publicat de Ministerul Educației și Cercetării.

Sursă: Arhiva oficială a Ministerului Educației și Cercetării.