Subiectul BAC Mate șt. naturii 2025 · Simulare / model

SUBIECTUL I (30 de puncte)

1. (5p) Determinați termenul $a_1$ al progresiei aritmetice $(a_n)_{n\ge 1}$, știind că $a_3 = 19$ și $a_4 = 25$.

2. (5p) Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $f(x) = 2x + a$, unde $a$ este număr real. Determinați numărul real $a$, știind că $f(2) = 8$.

3. (5p) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $5^{2-x} - \dfrac{1}{625}\cdot 25^x = 0$.

4. (5p) Determinați câte submulțimi cu două elemente are mulțimea $A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$.

5. (5p) În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(2, 2)$, $B(2, 0)$ și $C(8, 2)$. Determinați lungimea segmentului $DE$, unde punctele $D$ și $E$ sunt mijloacele segmentelor $OA$, respectiv $BC$.

6. (5p) Se consideră triunghiul $ABC$, dreptunghic în $A$, cu $AB = 6$ și $\angle B = \dfrac{\pi}{6}$. Arătați că raza cercului circumscris triunghiului $ABC$ este egală cu $2\sqrt{3}$.

SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

1. Se consideră matricele $I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$, $A = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 2 & 4 \end{pmatrix}$ și $M(a) = \begin{pmatrix} a & 1 \\ 2 - 2a & 2 - a \end{pmatrix}$, unde $a$ este număr real.

• a) (5p) Arătați că $\det A = 2$.
• b) (5p) Determinați numărul real $x$ pentru care $M(2) \cdot A = x \cdot M(1)$.
• c) (5p) Determinați numerele reale $a$ pentru care $(M(a) - 2I_2) \cdot M(a) = (a + 2) I_2$.

2. Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $x \circ y = (x - 6)(y - 6) + 6$.

• a) (5p) Arătați că $9 \circ 8 = 12$.
• b) (5p) Arătați că $e = 7$ este elementul neutru al legii de compoziție „$\circ$”.
• c) (5p) Determinați numerele reale nenule $x$ pentru care $x \circ \dfrac{6}{x} = 6x$.

SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

1. Se consideră funcția $f:(0, +\infty)\to\mathbb{R}$, $f(x) = (x^2 - 5)\sqrt{x}$.

• a) (5p) Arătați că $f'(x) = \dfrac{5(x - 1)(x + 1)}{2\sqrt{x}}$, $x \in (0, +\infty)$.
• b) (5p) Arătați că $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{f'(x)}{x\sqrt{x}} = \dfrac{5}{2}$.
• c) (5p) Arătați că $f(x + 2) - f(x) \le 26$, pentru orice $x \in (0, 2]$.

2. Se consideră funcția $f:(0, +\infty)\to\mathbb{R}$, $f(x) = x^2 + 4\ln x$.

• a) (5p) Arătați că $\displaystyle\int_1^2 \bigl(f(x) - 4\ln x\bigr)\,dx = \dfrac{7}{3}$.
• b) (5p) Arătați că $\displaystyle\int_1^e \dfrac{f(x) - x^2}{x}\,dx = 2$.
• c) (5p) Determinați numărul real $m$ pentru care $\displaystyle\int_1^2 \Bigl(f(x) \cdot f''(x) + \bigl(f'(x)\bigr)^2\Bigr)\,dx = m \cdot \bigl(f(2) - f(1)\bigr)$.

---

Sursă PDF: 2025_E_c_Matematica_SM_M_st-nat_Model_Subiect_LRO.pdf — distribuit oficial de Ministerul Educației, arhivat pe pro-matematica.ro.