Soluții BAC Mate șt. naturii 2025 · Simulare / model

SUBIECTUL I

1. Într-o progresie aritmetică, diferența dintre doi termeni consecutivi este rația:

$$r=a_4-a_3=25-19=6.$$

Cum

$$a_3=a_1+2r,$$

obținem

$$19=a_1+2\cdot 6 \Longleftrightarrow a_1=19-12=7.$$

Prin urmare,

$$\boxed{a_1=7}.$$

2. Funcția este

$$f(x)=2x+a.$$

Condiția $f(2)=8$ devine

$$2\cdot 2+a=8.$$

Rezultă

$$4+a=8 \Longleftrightarrow a=4.$$

Deci

$$\boxed{a=4}.$$

3. Ecuația este

$$5^{2-x}-\frac{1}{625}\cdot 25^x=0.$$

Scriem toate puterile în baza $5$:

$$625=5^4,\qquad 25^x=(5^2)^x=5^{2x}.$$

Atunci

$$\frac{1}{625}\cdot 25^x=5^{-4}\cdot 5^{2x}=5^{2x-4}.$$

Ecuația devine

$$5^{2-x}=5^{2x-4}.$$

Funcția exponențială de bază $5$ este injectivă, deci

$$2-x=2x-4.$$

Rezolvăm:

$$6=3x \Longleftrightarrow x=2.$$

Verificare:

$$5^{2-2}-\frac{1}{625}\cdot 25^2 =1-\frac{625}{625}=0.$$

Soluția este

$$\boxed{x=2}.$$

4. Mulțimea $A=\{1,2,3,4,5,6\}$ are $6$ elemente. Numărul submulțimilor cu două elemente este numărul de combinări de $6$ elemente luate câte $2$:

$$C_6^2=\frac{6\cdot 5}{2}=15.$$

Prin urmare,

$$\boxed{15}.$$

5. Avem

$$O(0,0),\qquad A(2,2),\qquad B(2,0),\qquad C(8,2).$$

Punctul $D$ este mijlocul segmentului $OA$, deci

$$D\left(\frac{0+2}{2},\frac{0+2}{2}\right)=(1,1).$$

Punctul $E$ este mijlocul segmentului $BC$, deci

$$E\left(\frac{2+8}{2},\frac{0+2}{2}\right)=(5,1).$$

Lungimea segmentului $DE$ este

$$DE=\sqrt{(5-1)^2+(1-1)^2} =\sqrt{16}=4.$$

Răspuns:

$$\boxed{DE=4}.$$

6. Triunghiul $ABC$ este dreptunghic în $A$, deci $BC$ este ipotenuza. În raport cu unghiul $B$, latura $AB$ este cateta alăturată, astfel că

$$\cos B=\frac{AB}{BC}.$$

Cum

$$B=\frac{\pi}{6},\qquad \cos\frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt3}{2},\qquad AB=6,$$

rezultă

$$\frac{\sqrt3}{2}=\frac{6}{BC}.$$

De aici

$$BC=\frac{12}{\sqrt3}=4\sqrt3.$$

Într-un triunghi dreptunghic, raza cercului circumscris este jumătate din ipotenuză:

$$R=\frac{BC}{2}=\frac{4\sqrt3}{2}=2\sqrt3.$$

Așadar,

$$\boxed{R=2\sqrt3}.$$

SUBIECTUL al II-lea

1.a) Matricea este

$$A= \begin{pmatrix} 0&-1\\ 2&4 \end{pmatrix}.$$

Determinantul este

$$\det A=0\cdot 4-(-1)\cdot 2=2.$$

Prin urmare,

$$\boxed{\det A=2}.$$

1.b) Calculăm mai întâi

$$M(2)= \begin{pmatrix} 2&1\\ -2&0 \end{pmatrix}, \qquad M(1)= \begin{pmatrix} 1&1\\ 0&1 \end{pmatrix}.$$

Produsul cerut este

$$M(2)A= \begin{pmatrix} 2&1\\ -2&0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0&-1\\ 2&4 \end{pmatrix}.$$

Rezultă

$$M(2)A= \begin{pmatrix} 2\cdot0+1\cdot2&2\cdot(-1)+1\cdot4\\ (-2)\cdot0+0\cdot2&(-2)\cdot(-1)+0\cdot4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2&2\\ 0&2 \end{pmatrix}.$$

Observăm că

$$\begin{pmatrix} 2&2\\ 0&2 \end{pmatrix} =2 \begin{pmatrix} 1&1\\ 0&1 \end{pmatrix} =2M(1).$$

Deci

$$\boxed{x=2}.$$

1.c) Avem

$$M(a)= \begin{pmatrix} a&1\\ 2-2a&2-a \end{pmatrix}, \qquad M(a)-2I_2= \begin{pmatrix} a-2&1\\ 2-2a&-a \end{pmatrix}.$$

Calculăm produsul:

$$(M(a)-2I_2)M(a) = \begin{pmatrix} a-2&1\\ 2-2a&-a \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a&1\\ 2-2a&2-a \end{pmatrix}.$$

Elementele produsului sunt:

$$\begin{aligned} p_{11}&=(a-2)a+1(2-2a)=a^2-4a+2,\\ p_{12}&=(a-2)\cdot1+1(2-a)=0,\\ p_{21}&=(2-2a)a+(-a)(2-2a)=0,\\ p_{22}&=(2-2a)\cdot1+(-a)(2-a)=a^2-4a+2. \end{aligned}$$

Așadar

$$(M(a)-2I_2)M(a) =(a^2-4a+2)I_2.$$

Condiția din enunț devine

$$(a^2-4a+2)I_2=(a+2)I_2.$$

Echivalăm coeficienții:

$$a^2-4a+2=a+2.$$

Rezultă

$$a^2-5a=0 \Longleftrightarrow a(a-5)=0.$$

Prin urmare,

$$\boxed{a\in\{0,5\}}.$$

2.a) Legea este

$$x\circ y=(x-6)(y-6)+6.$$

Calculăm:

$$9\circ 8=(9-6)(8-6)+6=3\cdot2+6=12.$$

Deci

$$\boxed{9\circ 8=12}.$$

2.b) Verificăm pentru orice $x\in\mathbb R$:

$$x\circ 7=(x-6)(7-6)+6=(x-6)\cdot1+6=x,$$

și

$$7\circ x=(7-6)(x-6)+6=1\cdot(x-6)+6=x.$$

Prin urmare, $7$ este element neutru pentru legea $\circ$:

$$\boxed{e=7}.$$

2.c) Condiția este pentru $x\ne0$:

$$x\circ \frac6x=6x.$$

Folosim definiția legii:

$$(x-6)\left(\frac6x-6\right)+6=6x.$$

Dezvoltăm membrul stâng:

$$(x-6)\left(\frac6x-6\right)+6 =6-6x-\frac{36}{x}+36+6 =48-6x-\frac{36}{x}.$$

Ecuația devine

$$48-6x-\frac{36}{x}=6x.$$

Împărțim la $6$:

$$8-x-\frac6x=x.$$

Deoarece $x\ne0$, înmulțim cu $x$:

$$8x-x^2-6=x^2.$$

Rezultă

$$2x^2-8x+6=0 \Longleftrightarrow x^2-4x+3=0.$$

Factorizăm:

$$x^2-4x+3=(x-1)(x-3).$$

Prin urmare,

$$x=1\quad \text{sau}\quad x=3.$$

Ambele valori sunt nenule și verifică ecuația, deci

$$\boxed{x\in\{1,3\}}.$$

SUBIECTUL al III-lea

1.a) Funcția este

$$f:(0,+\infty)\to\mathbb R,\qquad f(x)=(x^2-5)\sqrt{x}.$$

Pentru $x>0$, scriem

$$f(x)=x^2\sqrt{x}-5\sqrt{x} =x^{5/2}-5x^{1/2}.$$

Derivăm:

$$f'(x)=\frac52x^{3/2}-5\cdot\frac12x^{-1/2} =\frac52x^{3/2}-\frac52x^{-1/2}.$$

Aducem la același numitor $2\sqrt{x}$:

$$f'(x)=\frac{5x^2}{2\sqrt{x}}-\frac{5}{2\sqrt{x}} =\frac{5(x^2-1)}{2\sqrt{x}}.$$

Factorizăm diferența de pătrate:

$$x^2-1=(x-1)(x+1).$$

Deci

$$\boxed{f'(x)=\frac{5(x-1)(x+1)}{2\sqrt{x}}},\qquad x\in(0,+\infty).$$

1.b) Folosind formula derivatei,

$$\frac{f'(x)}{x\sqrt{x}} = \frac{\frac{5(x^2-1)}{2\sqrt{x}}}{x\sqrt{x}} = \frac{5(x^2-1)}{2x^2}.$$

Prin urmare,

$$\lim_{x\to+\infty}\frac{f'(x)}{x\sqrt{x}} = \lim_{x\to+\infty}\frac52\left(1-\frac1{x^2}\right) =\frac52.$$

Așadar,

$$\boxed{\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac{f'(x)}{x\sqrt{x}}=\frac52}.$$

1.c) Trebuie să demonstrăm că

$$f(x+2)-f(x)\le 26,\qquad x\in(0,2].$$

Definim

$$g(x)=f(x+2)-f(x),\qquad x\in(0,2].$$

Mai întâi studiem monotonia lui $g$. Pentru $x>0$, derivata a doua a lui $f$ este

$$f''(x)=\left(\frac52x^{3/2}-\frac52x^{-1/2}\right)' =\frac{15}{4}\sqrt{x}+\frac{5}{4x\sqrt{x}}.$$

Deoarece

$$\frac{15}{4}\sqrt{x}>0 \quad \text{și}\quad \frac{5}{4x\sqrt{x}}>0$$

pentru orice $x>0$, rezultă

$$f''(x)>0,\qquad \forall x>0.$$

Prin urmare, $f'$ este strict crescătoare pe $(0,+\infty)$. Pentru $x\in(0,2]$, avem $x+2>x$, deci

$$f'(x+2)>f'(x).$$

Astfel

$$g'(x)=f'(x+2)-f'(x)>0,$$

deci $g$ este crescătoare pe $(0,2]$. Rezultă

$$g(x)\le g(2),\qquad x\in(0,2].$$

Calculăm:

$$g(2)=f(4)-f(2).$$

Avem

$$f(4)=(4^2-5)\sqrt4=(16-5)\cdot2=22,$$

și

$$f(2)=(2^2-5)\sqrt2=(4-5)\sqrt2=-\sqrt2.$$

Deci

$$g(2)=22-(-\sqrt2)=22+\sqrt2.$$

Cum $\sqrt2<4$, obținem

$$22+\sqrt2<26.$$

Prin urmare, pentru orice $x\in(0,2]$,

$$f(x+2)-f(x)=g(x)\le g(2)<26,$$

deci

$$\boxed{f(x+2)-f(x)\le 26}.$$

2.a) Funcția este

$$f:(0,+\infty)\to\mathbb R,\qquad f(x)=x^2+4\ln x.$$

Pe intervalul $[1,2]$, funcția este bine definită. Avem

$$f(x)-4\ln x=x^2.$$

Prin urmare,

$$\int_1^2 \bigl(f(x)-4\ln x\bigr)\,dx =\int_1^2 x^2\,dx =\left[\frac{x^3}{3}\right]_1^2.$$

Calculăm:

$$\left[\frac{x^3}{3}\right]_1^2 =\frac{2^3}{3}-\frac{1^3}{3} =\frac{8-1}{3} =\frac73.$$

Așadar,

$$\boxed{\int_1^2 \bigl(f(x)-4\ln x\bigr)\,dx=\frac73}.$$

2.b) Pentru $x\in[1,e]$, avem $x>0$, deci integrala este bine definită. Observăm că

$$f(x)-x^2=4\ln x.$$

Atunci

$$\int_1^e \frac{f(x)-x^2}{x}\,dx =\int_1^e \frac{4\ln x}{x}\,dx.$$

Folosim faptul că

$$\left((\ln x)^2\right)'=2\ln x\cdot \frac1x.$$

Rezultă

$$\int_1^e \frac{4\ln x}{x}\,dx =2\left[(\ln x)^2\right]_1^e.$$

Calculăm:

$$2\left((\ln e)^2-(\ln 1)^2\right) =2(1^2-0^2)=2.$$

Prin urmare,

$$\boxed{\int_1^e \frac{f(x)-x^2}{x}\,dx=2}.$$

2.c) Observăm identitatea de derivare:

$$\bigl(f(x)f'(x)\bigr)'=f'(x)\cdot f'(x)+f(x)\cdot f''(x) =\bigl(f'(x)\bigr)^2+f(x)f''(x).$$

Deci

$$\int_1^2 \left(f(x)f''(x)+\bigl(f'(x)\bigr)^2\right)\,dx =\left[f(x)f'(x)\right]_1^2.$$

Calculăm valorile necesare:

$$f(1)=1^2+4\ln1=1,$$ $$f(2)=2^2+4\ln2=4+4\ln2.$$

Derivata este

$$f'(x)=2x+\frac4x,$$

deci

$$f'(1)=2+\frac41=6,\qquad f'(2)=4+\frac42=6.$$

Astfel,

$$\left[f(x)f'(x)\right]_1^2 =f(2)f'(2)-f(1)f'(1) =6f(2)-6f(1).$$

Prin urmare,

$$\int_1^2 \left(f(x)f''(x)+\bigl(f'(x)\bigr)^2\right)\,dx =6\bigl(f(2)-f(1)\bigr).$$

Comparând cu

$$\int_1^2 \left(f(x)f''(x)+\bigl(f'(x)\bigr)^2\right)\,dx =m\bigl(f(2)-f(1)\bigr),$$

și deoarece

$$f(2)-f(1)=3+4\ln2>0,$$

rezultă

$$\boxed{m=6}.$$

Autoevaluare pentru punctaj maxim

• Toate cele 18 subpuncte au fost rezolvate în ordinea enunțului oficial.
• Au fost verificate condițiile de existență pentru expresiile cu radical, logaritm și fracții, inclusiv $x>0$ și $x\ne0$ unde era necesar.
• Calculele pentru progresie, funcție liniară, ecuație exponențială, combinări, geometrie analitică și trigonometrie au fost dezvoltate complet.
• La matrice au fost calculate explicit determinantul, produsul $M(2)A$ și produsul $(M(a)-2I_2)M(a)$.
• Pentru legea de compoziție au fost verificate elementul neutru și ecuația cu restricția $x\ne0$.
• La analiză matematică au fost justificate derivările, limita, monotonia folosită în inegalitate și integrările, inclusiv identitatea $(ff')'=f'f'+ff''$.
• Rezultatele finale sunt simplificate și evidențiate prin formule încadrate.