Subiectul BAC Mate șt. naturii 2025 · Simulare / model

SUBIECTUL I (30 de puncte)

1. (5p) Arătați că $2i(6-i)+3(1-4i)=5$, unde $i^2=-1$.

2. (5p) Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $f(x)=x+5$. Determinați numărul real $a$ pentru care $f(f(a))=2a$.

3. (5p) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\sqrt{x^2+4x-4}=x\sqrt{2}$.

4. (5p) Determinați probabilitatea ca, alegând un număr $n$ din mulțimea numerelor naturale de o cifră, numărul $2^n$ să fie divizibil cu $16$.

5. (5p) În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(3,1)$ și $B(2,4)$. Arătați că triunghiul $OAB$ este dreptunghic în $A$.

6. (5p) Se consideră expresia $E(x)=\sin x+2\cos 2x+2\sin^2\dfrac{x}{2}$, unde $x$ este număr real. Arătați că $E\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=0$.

SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

1. Se consideră matricea $A(x)=\begin{pmatrix}x+1 & -x \\ -2x & 2x+1\end{pmatrix},$ unde $x$ este număr real.

• a) (5p) Arătați că $\det(A(1))=4$.
• b) (5p) Arătați că $A(-1)\cdot A(x)=A(-2x-1)$, pentru orice număr real $x$.
• c) (5p) Determinați perechile $(m,n)$ de numere naturale, cu $m<n$, pentru care $A(-1)\cdot(A(m)+A(n))=2A(-4)$.

2. Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $x\circ y=x\cdot 3^y+y\cdot 3^x$.

• a) (5p) Arătați că $1\circ 2=15$.
• b) (5p) Arătați că $e=0$ este elementul neutru al legii de compoziție „$\circ$”.
• c) (5p) Determinați numărul real nenul $x$ pentru care $x\circ(3x)=(2x)\circ(2x)$.

SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

1. Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $f(x)=\dfrac{e^x}{x^2+3x+3}$.

• a) (5p) Arătați că $f'(x)=\dfrac{e^x(x^2+x)}{(x^2+3x+3)^2}$, $x\in\mathbb{R}$.
• b) (5p) Arătați că $\displaystyle\lim_{x\to+\infty} f(x)=+\infty$.
• c) (5p) Demonstrați că $f(x)-f(y)\le\dfrac{3-e}{3e}$, pentru orice numere reale $x$ și $y$, cu $x\le 0\le y$.

2. Se consideră funcția $f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}$, $f(x)=4x+1+3x\ln x$.

• a) (5p) Arătați că $\displaystyle\int_1^2 (f(x)-3x\ln x)\,dx=7$.
• b) (5p) Arătați că $\displaystyle\int_1^e \dfrac{f(x)-4x-1}{x}\,dx=3$.
• c) (5p) Determinați numărul real $a$ pentru care $\displaystyle\int_2^4 \dfrac{f(x)-1}{x^2\ln x}\,dx=a\ln 2$.

---

Sursă PDF: 2025_E_c_Matematica_SM_M_st-nat_Simulare_XII_Subiect_LRO.pdf — distribuit oficial de Ministerul Educației, arhivat pe pro-matematica.ro.