Subiectul BAC Mate șt. naturii 2025 · Iunie–Iulie

SUBIECTUL I (30 de puncte)

1. (5p) Determinați termenul $a_3$ al progresiei aritmetice $(a_n)_{n \ge 1}$, în care $a_1 = 4$ și $a_2 = 15$.

2. (5p) Se consideră funcția $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = 3x - 2$. Determinați numărul real $a$ pentru care $f(a) + f(2) = 2a$.

3. (5p) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\log_2(x^2 - 3x + 2) = \log_2(2 + x)$.

4. (5p) Determinați câte numere naturale pare, de două cifre distincte, se pot forma cu elementele mulțimii $A = \{1,2,3,5,7,8\}$.

5. (5p) În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(0,5)$, $B(8,4)$ și $C$, mijlocul segmentului $OB$. Arătați că $AO = AC$.

6. (5p) Se consideră triunghiul $ABC$, dreptunghic în $A$, cu $AB = 4$ și $\cos B = \dfrac{2}{3}$. Arătați că $BC = 6$.

SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

1. Se consideră matricele $I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ și $A = \begin{pmatrix} -2 & 8 \\ -1 & 3 \end{pmatrix}$.

a) (5p) Arătați că $\det A = 2$.

b) (5p) Arătați că matricea $B = \dfrac{1}{2}(I_2 - A)$ este inversa matricei $A$.

c) (5p) Determinați matricea $X \in \mathcal{M}_2(\mathbb{R})$ pentru care $(A - I_2) \cdot X = 2A$.

2. Pe mulțimea $M = [0, +\infty)$ se definește legea de compoziție $x * y = x + y - \sqrt{xy}$.

a) (5p) Arătați că $1 * 4 = 3$.

b) (5p) Determinați $x \in M$ pentru care $x * (9x) = x^2$.

c) (5p) Determinați numărul real $x$ pentru care $2^x * 2^{x+2} = 6^x$.

SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

1. Se consideră funcția $f : (0, +\infty) \to \mathbb{R}$, $f(x) = \dfrac{2\sqrt{x}}{x^2 + x + 2}$.

a) (5p) Arătați că $f'(x) = \dfrac{-3x^2 - x + 2}{(x^2 + x + 2)^2 \sqrt{x}}$, $x \in (0, +\infty)$.

b) (5p) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre $+\infty$ la graficul funcției $f$.

c) (5p) Determinați $a \in (0, +\infty)$ pentru care tangenta la graficul funcției $f$ în punctul $A(a, f(a))$ este paralelă cu axa $Ox$.

2. Se consideră funcția $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = x^3 + 3x + 3$.

a) (5p) Arătați că $\displaystyle\int_0^2 (f(x) - 3x - 3)\, dx = 4$.

b) (5p) Arătați că $\displaystyle\int_0^1 \dfrac{1}{(f(x) - x^3)^2}\, dx = \dfrac{1}{18}$.

c) (5p) Determinați numărul real $m$ pentru care $\displaystyle\int_1^e \dfrac{f(x) - 3}{x^2} \cdot \ln x\, dx = \dfrac{e^2 + m}{4}$.

---

Sursă PDF: 2025_E_c_Matematica_S1_M_st-nat_Subiect_01_LRO.pdf — distribuit oficial de Ministerul Educației, arhivat pe pro-matematica.ro.