Subiectul BAC Mate șt. naturii 2025 · Sesiunea specială

SUBIECTUL I (30 de puncte)

1. (5p) Arătați că $2 \cdot (1{,}1 + 0{,}3) - 1{,}8 = 1$.

2. (5p) Se consideră funcția $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = 2x + 4$. Determinați numărul real $a$ pentru care $f(a) = a \cdot f(0)$.

3. (5p) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\sqrt{2 - x} = \sqrt{x^2 + x - 1}$.

4. (5p) Determinați probabilitatea ca, alegând un număr $n$ din mulțimea numerelor naturale de o cifră, acesta să verifice inegalitatea $n^3 > 10$.

5. (5p) În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(1, 4)$, $B(2, 0)$ și $C(8, 2)$. Determinați distanța dintre punctul $A$ și mijlocul segmentului $BC$.

6. (5p) Se consideră triunghiul $ABC$, dreptunghic în $A$, cu $BC = 10$ și $\sin B = \dfrac{2}{5}$. Arătați că $AC = 4$.

SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

1. Se consideră matricele $I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ și $A(x) = \begin{pmatrix} 2 + 2x & x \\ -x & 2 - 2x \end{pmatrix}$, unde $x$ este număr real.

a) (5p) Arătați că $\det(A(1)) = 1$.

b) (5p) Arătați că $A(2) \cdot A(1) + 3 A(-2) = 16 I_2$.

c) (5p) Determinați numărul întreg nenul $m$ pentru care matricea $B(m) = \dfrac{1}{m} A(-m)$ este inversa matricei $A(m)$.

2. Se consideră polinomul $f = X^3 - 3X^2 - 3X + a$, unde $a$ este număr real.

a) (5p) Pentru $a = 1$, arătați că $f(-1) = 0$.

b) (5p) Determinați numărul real $a$ pentru care $3x_1 + 3x_2 + 3x_3 - x_1 x_2 x_3 = 3$, unde $x_1$, $x_2$ și $x_3$ sunt rădăcinile polinomului $f$.

c) (5p) Pentru $a = 9$, determinați rădăcinile polinomului $f$.

SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

1. Se consideră funcția $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = \dfrac{x^2 - 8}{e^x}$.

a) (5p) Arătați că $f'(x) = \dfrac{(x + 2)(4 - x)}{e^x}$, $x \in \mathbb{R}$.

b) (5p) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $f$ în punctul de abscisă $x = 0$, situat pe graficul funcției $f$.

c) (5p) Demonstrați că $-4e^2 \le f(x) \le e^3$, pentru orice $x \in [-3, 4]$.

2. Se consideră funcția $f : (0, +\infty) \to \mathbb{R}$, $f(x) = 6x + \dfrac{2\ln x}{x}$.

a) (5p) Arătați că $\displaystyle\int_2^3 \left( f(x) - \dfrac{2\ln x}{x} \right) dx = 15$.

b) (5p) Arătați că $\displaystyle\int_1^e \left( f(x) - 6x \right) dx = 1$.

c) (5p) Determinați numărul real $a$ pentru care $\displaystyle\int_1^{e^2} \left( \dfrac{f(x)}{x} + f'(x) \ln x \right) dx = a f(e^2)$.

---

Sursă PDF: 2025_E_c_Matematica_SS_M_st-nat_Subiect_03_LRO.pdf — distribuit oficial de Ministerul Educației, arhivat pe pro-matematica.ro.