Subiectul BAC Mate șt. naturii 2025 · August–Septembrie

SUBIECTUL I (30 de puncte)

1. (5p) Determinați termenul $a_2$ al progresiei aritmetice $(a_n)_{n\geq 1}$, în care $a_1 = 5$ și $a_3 = 35$.

2. (5p) Se consideră funcția $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = 2x + 3$. Determinați numărul real $m$ pentru care $f(m) = f(0) \cdot f(1)$.

3. (5p) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\sqrt[3]{x^2 - 4} = \sqrt[3]{3x - 6}$.

4. (5p) Determinați probabilitatea ca, alegând un număr $n$ din mulțimea numerelor naturale de o cifră, acesta să verifice inegalitatea $3n^2 < 100$.

5. (5p) În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(0, 2)$, $B(2, 5)$ și $C$, astfel încât $B$ este mijlocul segmentului $AC$. Determinați coordonatele punctului $C$.

6. (5p) Se consideră triunghiul $ABC$, dreptunghic în $A$, cu $AB = AC$ și aria egală cu $18$. Arătați că $BC = 6\sqrt{2}$.

SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

1. Se consideră matricele $I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ și $A(x) = \begin{pmatrix} 1 - x & 3x \\ -x & 1 + 4x \end{pmatrix}$, unde $x$ este număr real.

a) (5p) Arătați că $\det(A(2)) = 3$.

b) (5p) Arătați că $xA(y) - A(xy) = (x - 1)I_2$, pentru orice numere reale $x$ și $y$.

c) (5p) Determinați numerele reale $x$ pentru care $A(1) \cdot A(x - 1) = xA(x)$.

2. Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $x \circ y = \dfrac{1}{4}(x + 1)(y + 1) - 1$.

a) (5p) Arătați că $1 \circ 5 = 2$.

b) (5p) Arătați că $e = 3$ este elementul neutru al legii de compoziție „$\circ$”.

c) (5p) Determinați perechile $(m, n)$ de numere naturale, cu $m \leq n$, pentru care $m \circ n = 3$.

SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

1. Se consideră funcția $f : (0, +\infty) \to \mathbb{R}$, $f(x) = x^2 - 3x - 1 + \ln x$.

a) (5p) Arătați că $f'(x) = \dfrac{(2x - 1)(x - 1)}{x}$, $x \in (0, +\infty)$.

b) (5p) Arătați că $\lim\limits_{x \to 1} \dfrac{f(x) + 3x}{\ln x} = 3$.

c) (5p) Demonstrați că $f(x) + f(y) \leq -\dfrac{21}{4}$, pentru orice $x \in (0, 1]$ și orice $y \in [1, 2]$.

2. Se consideră funcția $f : (0, +\infty) \to \mathbb{R}$, $f(x) = \dfrac{x - 1}{\sqrt{x}}$.

a) (5p) Arătați că $\displaystyle\int_2^4 f(x)\sqrt{x}\,dx = 4$.

b) (5p) Arătați că $\displaystyle\int_1^4 f(x)\,dx = \dfrac{8}{3}$.

c) (5p) Arătați că volumul corpului obținut prin rotația graficului funcției $g : [2, 3] \to \mathbb{R}$, $g(x) = \dfrac{\sqrt{2}}{f(x)}$, în jurul axei $Ox$ este egal cu $\pi \ln(4e)$.

---

Sursă PDF: 2025_E_c_Matematica_S2_M_st-nat_Subiect_09_LRO.pdf — distribuit oficial de Ministerul Educației, arhivat pe pro-matematica.ro.