Subiectul BAC Mate șt. naturii 2024 · Simulare / model

SUBIECTUL I (30 de puncte)

1. (5p) Arătați că $0,5 + 10 \cdot (1 - 0,75) = 3$.

2. (5p) Se consideră funcțiile $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $f(x)=2x-1$ și $g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $g(x)=x+1$. Arătați că $f(m)+g(-m)=m$, pentru orice număr real $m$.

3. (5p) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $x^2+6=5x$.

4. (5p) Se consideră mulțimea $A=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$. Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea $A$, acesta să fie divizor al lui $30$.

5. (5p) În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(1,1)$, $B(2,2)$ și $C(4,0)$. Arătați că triunghiul $ABC$ este dreptunghic în $B$.

6. (5p) Se consideră $E(x)=3\cos^2 x-\cos\dfrac{x}{2}\cdot\sin x$, unde $x$ este număr real. Arătați că $E\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=0$.

SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

1. Se consideră matricea $A(x)=\begin{pmatrix}x & -2x \\ 1 & x-6\end{pmatrix},$ unde $x$ este număr real.

• a) (5p) Arătați că $\det(A(6))=12$.
• b) (5p) Determinați numărul real $a$ pentru care $A(4)\cdot A(4)=aA(4)$.
• c) (5p) Determinați perechile $(m,n)$ de numere naturale nenule, cu $m<n$, pentru care $\det(A(m)+A(n))=0$.

2. Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $x\ast y=xy(x+y-xy)$.

• a) (5p) Arătați că $1\ast 3=3$.
• b) (5p) Determinați numerele reale $x$ pentru care $x\ast 2=-x^2$.
• c) (5p) Determinați numărul întreg nenul $m$ pentru care $\dfrac{1}{2m}\ast m=m$.

SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

1. Se consideră funcția $f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}$, $f(x)=\dfrac{x^2-2}{x}-3\ln x$.

• a) (5p) Arătați că $f'(x)=\dfrac{x^2-3x+2}{x^2}$, $x\in(0,+\infty)$.
• b) (5p) Arătați că $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{f(x)+3\ln x}{x+1}=1$.
• c) (5p) Demonstrați că $\dfrac{x^2+x-2}{x}\le 3\ln x$, pentru orice $x\in(0,2]$.

2. Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $f(x)=x^3+x+1$.

• a) (5p) Arătați că $\displaystyle\int_0^2 (f(x)-x^3)\,dx=4$.
• b) (5p) Arătați că $\displaystyle\int_0^1 \dfrac{x^2}{f(x)-x}\,dx=\dfrac{\ln 2}{3}$.
• c) (5p) Determinați $a\in(-\infty,0)$, știind că $\displaystyle\int_a^0 e^{-x}(f'(x)-f(x))\,dx=1-a^3e^{-a}$.

---

Sursă PDF: 2024_E_c_Matematica_SM_M_st-nat_Model_Subiect_LRO.pdf — distribuit oficial de Ministerul Educației, arhivat pe pro-matematica.ro.