Subiectul BAC Mate șt. naturii 2024 · Iunie–Iulie

SUBIECTUL I (30 de puncte)

1. (5p) Determinați termenul $a_1$ al progresiei aritmetice $(a_n)_{n \ge 1}$, în care $a_2 = 8$ și $a_3 = 12$.

2. (5p) Se consideră funcția $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = 3x - 2$. Determinați numărul real $m$ pentru care $f(m) = m$.

3. (5p) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\log_6(9 - x^2) = \log_6 5$.

4. (5p) Se consideră mulțimea $A = \{0, 1, 2, \ldots, 9\}$. Determinați probabilitatea ca, alegând un număr $n$ din mulțimea $A$, numărul $\sqrt{2n+1}$ să aparțină mulțimii $A$.

5. (5p) În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(1,0)$, $B(4,4)$ și $C(5,2)$. Arătați că triunghiul $ABC$ este dreptunghic în $C$.

6. (5p) Se consideră expresia $E(x) = 2\sin x \cdot \cos \dfrac{x}{2} + \left(\sin \dfrac{3x}{4}\right)^2$. Arătați că $E\left(\dfrac{\pi}{3}\right) = 2$.

SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

1. Se consideră matricele $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 4 \end{pmatrix} \quad \text{și} \quad B(a) = \begin{pmatrix} a & a+1 \\ a-3 & 4a-1 \end{pmatrix},$ unde $a$ este număr real.

• a) (5p) Arătați că $\det(B(1)) = 7$.
• b) (5p) Arătați că $B(2) - B(0) \cdot B(1) = 4A$.
• c) (5p) Determinați numerele reale $a$ pentru care matricea $C(a) = B(a) - aA$ nu este inversabilă.

2. Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $x \ast y = xy - 2x - 3y + 6$.

• a) (5p) Arătați că $2 \ast 2 = 0$.
• b) (5p) Determinați numărul real $x$ pentru care $x \ast 6 = x$.
• c) (5p) Determinați mulțimea numerelor reale $x$ pentru care $x \ast (2 \ast x) \ge 2$.

SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

1. Se consideră funcția $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = \dfrac{2x}{x^2 + x + 4}$.

• a) (5p) Arătați că $f'(x) = \dfrac{2(4 - x^2)}{(x^2 + x + 4)^2}$, $x \in \mathbb{R}$.
• b) (5p) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre $+\infty$ la graficul funcției $f$.
• c) (5p) Arătați că $f(x) - f(4 - x) \le 1$, pentru orice $x \in [4, +\infty)$.

2. Se consideră funcția $f: (-1, +\infty) \to \mathbb{R}$, $f(x) = \dfrac{x+3}{x+1}$.

• a) (5p) Arătați că $\displaystyle\int_0^2 (x+1)f(x)\, dx = 8$.
• b) (5p) Arătați că $\displaystyle\int_0^1 f(x)\, dx = 1 + 2\ln 2$.
• c) (5p) Determinați numărul real $a$ pentru care $\displaystyle\int_1^2 (x^2 - 1)e^x f(x)\, dx = e(e + a)$.

---

Sursă PDF: 2024_E_c_Matematica_S1_M_st-nat_Subiect_10_LRO.pdf — distribuit oficial de Ministerul Educației, arhivat pe pro-matematica.ro.