Soluții BAC Mate șt. naturii 2024 · Iunie–Iulie

SUBIECTUL I

1. Într-o progresie aritmetică, rația este constantă:

$$r=a_3-a_2=12-8=4.$$

Deoarece $a_2=a_1+r$, avem

$$a_1=a_2-r=8-4=4.$$

Prin urmare, $\boxed{a_1=4}$.

2. Condiția $f(m)=m$ devine

$$3m-2=m.$$

Rezultă

$$2m=2 \quad \Longrightarrow \quad m=1.$$

Deci $\boxed{m=1}$.

3. Ecuația este

$$\log_6(9-x^2)=\log_6 5.$$

Condiția de existență este

$$9-x^2>0 \quad \Longleftrightarrow \quad x\in(-3,3).$$

Cum funcția logaritmică de bază $6>1$ este injectivă, obținem

$$9-x^2=5 \quad \Longleftrightarrow \quad x^2=4.$$

Astfel,

$$x\in\{-2,2\}.$$

Ambele valori respectă condiția de existență, deci soluția este $\boxed{\{-2,2\}}$.

4. Avem $A=\{0,1,2,\ldots,9\}$, deci sunt $10$ cazuri posibile.

Cerem ca $\sqrt{2n+1}\in A$. Pentru $n\in A$, numărul $2n+1$ ia valorile impare de la $1$ la $19$:

$$1,3,5,7,9,11,13,15,17,19.$$

Dintre acestea, pătrate perfecte sunt doar

$$1=1^2,\qquad 9=3^2.$$

Acestea corespund lui

$$2n+1=1 \Rightarrow n=0,\qquad 2n+1=9 \Rightarrow n=4.$$

Sunt $2$ cazuri favorabile, deci probabilitatea este

$$P=\frac{2}{10}=\boxed{\frac15}.$$

5. Considerăm vectorii cu originea în $C$:

$$\overrightarrow{CA}=A-C=(1-5,0-2)=(-4,-2),$$ $$\overrightarrow{CB}=B-C=(4-5,4-2)=(-1,2).$$

Produsul lor scalar este

$$\overrightarrow{CA}\cdot \overrightarrow{CB} =(-4)(-1)+(-2)\cdot 2=4-4=0.$$

Prin urmare, $\overrightarrow{CA}\perp \overrightarrow{CB}$, deci triunghiul $ABC$ este dreptunghic în $\boxed{C}$.

6. Calculăm

$$E\left(\frac{\pi}{3}\right) =2\sin\frac{\pi}{3}\cdot \cos\frac{\pi}{6} +\left(\sin\frac{\pi}{4}\right)^2.$$

Folosim valorile cunoscute:

$$\sin\frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt3}{2},\qquad \cos\frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt3}{2},\qquad \sin\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt2}{2}.$$

Atunci

$$E\left(\frac{\pi}{3}\right) =2\cdot \frac{\sqrt3}{2}\cdot \frac{\sqrt3}{2} +\left(\frac{\sqrt2}{2}\right)^2 =\frac32+\frac12=2.$$

Deci $\boxed{E\left(\frac{\pi}{3}\right)=2}$.

SUBIECTUL al II-lea

1.a) Pentru $a=1$,

$$B(1)= \begin{pmatrix} 1&2\\ -2&3 \end{pmatrix}.$$

Determinantul este

$$\det(B(1))=1\cdot 3-2\cdot(-2)=3+4=7.$$

Prin urmare, $\boxed{\det(B(1))=7}$.

1.b) Calculăm

$$B(2)= \begin{pmatrix} 2&3\\ -1&7 \end{pmatrix},\quad B(0)= \begin{pmatrix} 0&1\\ -3&-1 \end{pmatrix},\quad B(1)= \begin{pmatrix} 1&2\\ -2&3 \end{pmatrix}.$$

Produsul este

$$B(0)B(1)= \begin{pmatrix} 0&1\\ -3&-1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1&2\\ -2&3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2&3\\ -1&-9 \end{pmatrix}.$$

Rezultă

$$B(2)-B(0)B(1) = \begin{pmatrix} 2&3\\ -1&7 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} -2&3\\ -1&-9 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4&0\\ 0&16 \end{pmatrix}.$$

Cum

$$4A=4 \begin{pmatrix} 1&0\\ 0&4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4&0\\ 0&16 \end{pmatrix},$$

avem $\boxed{B(2)-B(0)B(1)=4A}$.

1.c) Avem

$$C(a)=B(a)-aA = \begin{pmatrix} a&a+1\\ a-3&4a-1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} a&0\\ 0&4a \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0&a+1\\ a-3&-1 \end{pmatrix}.$$

Matricea $C(a)$ nu este inversabilă dacă și numai dacă determinantul ei este $0$:

$$\det C(a)=0\cdot(-1)-(a+1)(a-3)=-(a+1)(a-3).$$

Deci

$$\det C(a)=0 \Longleftrightarrow (a+1)(a-3)=0 \Longleftrightarrow a=-1 \text{ sau } a=3.$$

Prin urmare, $\boxed{a\in\{-1,3\}}$.

2.a) Legea este

$$x\ast y=xy-2x-3y+6.$$

Pentru $x=y=2$,

$$2\ast 2=2\cdot2-2\cdot2-3\cdot2+6 =4-4-6+6=0.$$

Deci $\boxed{2\ast2=0}$.

2.b) Calculăm

$$x\ast6=6x-2x-3\cdot6+6=4x-12.$$

Condiția $x\ast6=x$ devine

$$4x-12=x \Longleftrightarrow 3x=12 \Longleftrightarrow x=4.$$

Prin urmare, $\boxed{x=4}$.

2.c) Mai întâi,

$$2\ast x=2x-2\cdot2-3x+6=2-x.$$

Atunci

$$x\ast(2\ast x)=x\ast(2-x).$$

Folosind definiția legii,

$$x\ast(2-x) =x(2-x)-2x-3(2-x)+6.$$

Simplificăm:

$$x(2-x)-2x-3(2-x)+6 =2x-x^2-2x-6+3x+6 =-x^2+3x.$$

Inegalitatea cerută devine

$$-x^2+3x\ge 2 \Longleftrightarrow x^2-3x+2\le 0.$$

Factorizăm:

$$x^2-3x+2=(x-1)(x-2).$$

Prin urmare,

$$(x-1)(x-2)\le 0 \Longleftrightarrow x\in[1,2].$$

Mulțimea cerută este $\boxed{[1,2]}$.

SUBIECTUL al III-lea

1.a) Funcția este definită pe $\mathbb{R}$, deoarece

$$x^2+x+4=\left(x+\frac12\right)^2+\frac{15}{4}>0.$$

Aplicăm regula derivării raportului:

$$f'(x)=\frac{(2x)'(x^2+x+4)-2x(x^2+x+4)'}{(x^2+x+4)^2}.$$

Astfel,

$$f'(x)=\frac{2(x^2+x+4)-2x(2x+1)}{(x^2+x+4)^2}.$$

Numărătorul este

$$2x^2+2x+8-4x^2-2x=8-2x^2=2(4-x^2).$$

Deci

$$\boxed{f'(x)=\frac{2(4-x^2)}{(x^2+x+4)^2}},\qquad x\in\mathbb{R}.$$

1.b) Asimptota orizontală spre $+\infty$ se obține din limita

$$\lim_{x\to+\infty} f(x) =\lim_{x\to+\infty}\frac{2x}{x^2+x+4}.$$

Împărțim numărătorul și numitorul la $x^2$:

$$\lim_{x\to+\infty}\frac{\frac{2}{x}}{1+\frac1x+\frac4{x^2}}=0.$$

Prin urmare, asimptota orizontală spre $+\infty$ este

$$\boxed{y=0}.$$

1.c) Din formula derivatei,

$$f'(x)=\frac{2(4-x^2)}{(x^2+x+4)^2}.$$

Numitorul este strict pozitiv, deci semnul lui $f'(x)$ este semnul lui $4-x^2$.

Pentru $x\ge 4$, avem $x>2$, deci $f'(x)<0$. Funcția este descrescătoare pe $[2,+\infty)$, de unde

$$f(x)\le f(4)=\frac{8}{16+4+4}=\frac{8}{24}=\frac13.$$

Notăm $t=4-x$. Dacă $x\in[4,+\infty)$, atunci $t\in(-\infty,0]$. Pe intervalul $(-\infty,-2)$, avem $f'(t)<0$, iar pe $(-2,0]$, avem $f'(t)>0$. Deci $f$ are minim pe $(-\infty,0]$ în $t=-2$. Prin urmare,

$$f(t)\ge f(-2)=\frac{-4}{4-2+4}=-\frac23,$$

adică

$$f(4-x)\ge -\frac23.$$

Rezultă

$$f(x)-f(4-x)\le \frac13-\left(-\frac23\right)=1.$$

Așadar,

$$\boxed{f(x)-f(4-x)\le 1,\quad \forall x\in[4,+\infty)}.$$

2.a) Pe intervalul $[0,2]\subset(-1,+\infty)$, funcția este bine definită. Avem

$$(x+1)f(x)=(x+1)\cdot\frac{x+3}{x+1}=x+3.$$

Deci

$$\int_0^2 (x+1)f(x)\,dx =\int_0^2 (x+3)\,dx =\left[\frac{x^2}{2}+3x\right]_0^2.$$

Calculăm:

$$\left(\frac{2^2}{2}+3\cdot2\right)-0=2+6=8.$$

Prin urmare,

$$\boxed{\int_0^2 (x+1)f(x)\,dx=8}.$$

2.b) Scriem funcția sub forma

$$f(x)=\frac{x+3}{x+1}=\frac{x+1+2}{x+1}=1+\frac{2}{x+1}.$$

Atunci

$$\int_0^1 f(x)\,dx =\int_0^1 \left(1+\frac{2}{x+1}\right)\,dx =\left[x+2\ln(x+1)\right]_0^1.$$

Rezultă

$$\int_0^1 f(x)\,dx =1+2\ln2-(0+2\ln1) =1+2\ln2.$$

Deci

$$\boxed{\int_0^1 f(x)\,dx=1+2\ln2}.$$

2.c) Pe intervalul $[1,2]$, avem

$$(x^2-1)f(x) =(x-1)(x+1)\cdot\frac{x+3}{x+1} =(x-1)(x+3).$$

Astfel,

$$\int_1^2 (x^2-1)e^x f(x)\,dx =\int_1^2 (x-1)(x+3)e^x\,dx.$$

Deoarece

$$(x-1)(x+3)=x^2+2x-3,$$

integrala devine

$$\int_1^2 (x^2+2x-3)e^x\,dx.$$

Observăm că

$$\left(e^x(x^2-3)\right)' =e^x(x^2-3)+e^x\cdot 2x =e^x(x^2+2x-3).$$

Prin urmare,

$$\int_1^2 (x^2+2x-3)e^x\,dx =\left[e^x(x^2-3)\right]_1^2.$$

Calculăm:

$$e^2(4-3)-e(1-3) =e^2+2e.$$

Conform enunțului,

$$e^2+2e=e(e+a)=e^2+ae.$$

Cum $e\ne0$, rezultă

$$a=2.$$

Deci $\boxed{a=2}$.

Autoevaluare pentru punctaj maxim

• Toate cele 18 subpuncte au fost rezolvate în ordinea enunțului.
• Au fost verificate condițiile de existență pentru logaritm și domeniile funcțiilor raționale.
• Calculele de matrice, determinant, lege de compoziție, derivare și integrare au fost dezvoltate explicit.
• Demonstrațiile cerute prin „Arătați” folosesc justificări complete, nu doar rezultat numeric.
• Rezultatele finale sunt simplificate și evidențiate.