Subiectul BAC Mate șt. naturii 2024 · Sesiunea specială

SUBIECTUL I (30 de puncte)

1. (5p) Arătați că $6 - 2\sqrt{5} + \sqrt{5} \cdot (2 - \sqrt{5}) = 1$.

2. (5p) Se consideră funcția $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = 2x - 3$. Determinați numărul real $a$ pentru care $f(a) + f(1) = 0$.

3. (5p) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $10^{x-1} = 10^{-2x} \cdot 10^2$.

4. (5p) Determinați câte dintre numerele naturale de două cifre distincte, care se pot forma cu cifre din mulțimea $A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$, au ambele cifre pare.

5. (5p) În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(4, 6)$ și $B(6, 0)$. Determinați distanța dintre punctele $B$ și $M$, unde punctul $M$ este mijlocul segmentului $OA$.

6. (5p) Se consideră triunghiul $ABC$, dreptunghic în $A$, cu $AC = 6$ și aria egală cu $24$. Arătați că $AB = 8$.

SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

1. Se consideră matricele

$$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} \quad \text{și} \quad B(x) = \begin{pmatrix} x + 1 & x + 4 \\ 2x & 4x - 3 \end{pmatrix},$$

unde $x$ este număr real.

• a) (5p) Arătați că $\det A = 1$.
• b) (5p) Determinați numărul real $x$ pentru care $\det(B(x) - xA) = x$.
• c) (5p) Determinați numărul real $x$ pentru care $B(x) + B(x + 2) = 2A \cdot A \cdot A$.

2. Se consideră polinomul $f = X^3 + mX^2 - 2X - 4$, unde $m$ este număr real.

• a) (5p) Pentru $m = 6$, arătați că $f(1) = 1$.
• b) (5p) Determinați numărul real $m$ pentru care $(x_1x_2x_3)^2 = x_1 + x_2 + x_3 + x_1x_2x_3$, unde $x_1$, $x_2$ și $x_3$ sunt rădăcinile polinomului $f$.
• c) (5p) Determinați rădăcinile polinomului $f$, știind că restul împărțirii lui $f$ la polinomul $X - 2$ este egal cu $8$.

SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

1. Se consideră funcția $f: (0, +\infty) \to \mathbb{R}$, $f(x) = \dfrac{3 - x}{x^2} + \ln x$.

• a) (5p) Arătați că $f'(x) = \dfrac{x^2 + x - 6}{x^3}$, $x \in (0, +\infty)$.
• b) (5p) Arătați că $\displaystyle\lim_{x \to +\infty}(f(x) - \ln x) = 0$.
• c) (5p) Arătați că $4f(x) - 1 \ge \ln 16$, pentru orice $x \in (0, +\infty)$.

2. Se consideră funcția $f: (-3, +\infty) \to \mathbb{R}$, $f(x) = 3x + \dfrac{1}{\sqrt{x + 3}}$.

• a) (5p) Arătați că $\displaystyle\int_2^4 \left(f(x) - \dfrac{1}{\sqrt{x + 3}}\right)\, dx = 18$.
• b) (5p) Arătați că $\displaystyle\int_1^6 (f(x) - 3x)\, dx = 2$.
• c) (5p) Determinați numărul real $a$ pentru care $\displaystyle\int_{-2}^1 \dfrac{1}{x + 3}\left(f(x) - \dfrac{1}{\sqrt{x + 3}}\right)\, dx = 9(a - 2\ln 2)$.

---

Sursă PDF: 2024_E_c_Matematica_SS_M_st-nat_Subiect_09_LRO.pdf — distribuit oficial de Ministerul Educației, arhivat pe pro-matematica.ro.