Subiectul BAC Mate șt. naturii 2024 · August–Septembrie

SUBIECTUL I (30 de puncte)

1. (5p) Arătați că $2 - 5i + i(5 - 3i) = 5$, unde $i^2 = -1$.

2. (5p) Se consideră funcția f : ℝ → ℝ , f ( x ) = 6 x + m , unde m este număr real. Determinați numărul real m pentru care f ( 2 ) = 15 . 3. (5p) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $7^{2x+1} = 7^x \cdot 7^2$. 4. (5p) Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta să aibă cel puțin una dintre cifre egală cu 1 . 5. (5p) În reperul cartezian xOy se consideră punctele A ( 2,5 ) și B ( 4, 2 ) . Determinați distanța dintre punctul A și mijlocul segmentului OB . 6. (5p) Se consideră triunghiul ABC , dreptunghic în A , cu $AB = 5$ și $BC = 5\sqrt{5}$ . Arătați că $\sin C = \dfrac{\sqrt{5}}{5}$.

SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

1. Se consideră matricele $I_2 = \begin{pmatrix}1 & 0\\0 & 1\end{pmatrix}$, $A = \begin{pmatrix}2 & -1\\1 & 0\end{pmatrix}$ și $B(x) = \begin{pmatrix}x & x - 3\\3 - x & x - 4\end{pmatrix}$, unde x este număr real. a) (5p) Arătați că det A = 1 . b) (5p) Determinați numărul real a pentru care $B(4) \cdot B(4) + I_2 = aB(4)$. c) (5p) Determinați numărul real x pentru care $A \cdot B(x) = B(x) \cdot A$.
2. Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x ∗ y = ( x + y )( 4 − x − y ) . a) (5p) Arătați că 0 ∗ 3 = 3 . b) (5p) Determinați numerele reale x pentru care x ∗ 1 = 0 . c) (5p) Determinați numerele naturale n pentru care numărul N = ( n + 5 ) ∗ ( n − 5 ) este natural.

SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

1. Se consideră funcția $f : (-1, +\infty) \to \mathbb{R}$, $f(x) = x^2 - x - 2\ln(x + 1)$.

a) (5p) Arătați că $f'(x) = \dfrac{2x^2 + x - 3}{x + 1}$, $x \in (-1, +\infty)$. b) (5p) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției f în punctul de abscisă x = 0 , situat pe graficul funcției f . c) (5p) Arătați că $x^2 - x \ge 2\ln\dfrac{x + 1}{2}$, pentru orice $x \in (-1, +\infty)$. 2. Se consideră funcția $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = x^2 + 3x + 1$.

a) (5p) Arătați că $\int_0^3 (f(x) - 3x)\,dx = 12$. b) (5p) Arătați că $\int_0^1 \dfrac{1}{(f(x) - x^2)^2}\,dx = \dfrac{1}{4}$.

c) (5p) Arătați că aria suprafeței plane delimitate de graficul funcției $g : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $g(x) = \dfrac{f(x) - x^2 - 1}{e^x}$, axa Ox și dreptele de ecuații x = 0 și x = 1 este egală cu $3\left(1 - \dfrac{2}{e}\right)$.

Sursă PDF: 2024_E_c_Matematica_S2_M_st-nat_Subiect_03_LRO.pdf — distribuit oficial de Ministerul Educației, arhivat pe pro-matematica.ro.