Soluții BAC Mate șt. naturii 2024 · August–Septembrie

SUBIECTUL I

1. Avem

$$2-5i+i(5-3i)=2-5i+5i-3i^2.$$

Cum $i^2=-1$, rezultă

$$2-5i+5i-3(-1)=2+3=5.$$

Deci egalitatea este adevărată.

2. Funcția este $f(x)=6x+m$, deci

$$f(2)=6\cdot 2+m=12+m.$$

Condiția $f(2)=15$ dă

$$12+m=15 \Longrightarrow m=3.$$

3. Ecuația este

$$7^{2x+1}=7^x\cdot 7^2.$$

Folosind regula $a^p\cdot a^q=a^{p+q}$, obținem

$$7^{2x+1}=7^{x+2}.$$

Baza $7$ este pozitivă și diferită de $1$, deci egalăm exponenții:

$$2x+1=x+2 \Longrightarrow x=1.$$

Soluția este $x=1$.

4. Numerele naturale de două cifre sunt de la $10$ la $99$, deci sunt

$$99-10+1=90$$

cazuri posibile.

Numerele care au cifra zecilor egală cu $1$ sunt $10,11,\ldots,19$, adică $10$ numere. Numerele care au cifra unităților egală cu $1$ sunt

$$11,21,31,\ldots,91,$$

adică $9$ numere. Numărul $11$ a fost numărat de două ori, deci numărul cazurilor favorabile este

$$10+9-1=18.$$

Probabilitatea cerută este

$$p=\frac{18}{90}=\frac15.$$

5. Originea este $O(0,0)$, iar $B(4,2)$. Mijlocul segmentului $OB$ este

$$M\left(\frac{0+4}{2},\frac{0+2}{2}\right)=M(2,1).$$

Pentru $A(2,5)$, distanța $AM$ este

$$AM=\sqrt{(2-2)^2+(5-1)^2}=\sqrt{16}=4.$$

6. Triunghiul $ABC$ este dreptunghic în $A$, deci $BC$ este ipotenuza. Pentru unghiul $C$, latura opusă este $AB$. Prin urmare,

$$\sin C=\frac{AB}{BC}=\frac{5}{5\sqrt5}=\frac1{\sqrt5}=\frac{\sqrt5}{5}.$$

Deci $\sin C=\dfrac{\sqrt5}{5}$.

SUBIECTUL al II-lea

1. Se consideră

$$I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix},\quad A=\begin{pmatrix}2&-1\\1&0\end{pmatrix},\quad B(x)=\begin{pmatrix}x&x-3\\3-x&x-4\end{pmatrix}.$$

• a) Determinantul matricei $A$ este

$$\det A= \begin{vmatrix} 2&-1\\ 1&0 \end{vmatrix} =2\cdot 0-(-1)\cdot 1=1.$$

• b) Pentru $x=4$,

$$B(4)=\begin{pmatrix}4&1\\-1&0\end{pmatrix}.$$

Calculăm:

$$B(4)\cdot B(4)= \begin{pmatrix}4&1\\-1&0\end{pmatrix} \begin{pmatrix}4&1\\-1&0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}15&4\\-4&-1\end{pmatrix}.$$

Atunci

$$B(4)\cdot B(4)+I_2= \begin{pmatrix}15&4\\-4&-1\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}16&4\\-4&0\end{pmatrix}.$$

Pe de altă parte,

$$aB(4)=a\begin{pmatrix}4&1\\-1&0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}4a&a\\-a&0\end{pmatrix}.$$

Egalitatea impune $4a=16$, deci

$$a=4.$$

Pentru $a=4$, toate elementele matricelor coincid, deci valoarea cerută este $a=4$.

• c) Calculăm cele două produse:

$$A\cdot B(x)= \begin{pmatrix}2&-1\\1&0\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x&x-3\\3-x&x-4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3x-3&x-2\\x&x-3\end{pmatrix},$$

iar

$$B(x)\cdot A= \begin{pmatrix}x&x-3\\3-x&x-4\end{pmatrix} \begin{pmatrix}2&-1\\1&0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3x-3&-x\\2-x&x-3\end{pmatrix}.$$

Condiția $A\cdot B(x)=B(x)\cdot A$ dă, de exemplu din elementele de pe poziția $(1,2)$,

$$x-2=-x \Longrightarrow 2x=2 \Longrightarrow x=1.$$

Verificarea celeilalte condiții neidentice:

$$x=2-x \Longrightarrow x=1.$$

Deci numărul real cerut este $x=1$.

2. Legea de compoziție este

$$x*y=(x+y)(4-x-y),\quad x,y\in\mathbb R.$$

• a) Pentru $x=0$ și $y=3$,

$$0*3=(0+3)(4-0-3)=3\cdot 1=3.$$

• b) Avem

$$x*1=(x+1)(4-x-1)=(x+1)(3-x).$$

Condiția $x*1=0$ devine

$$(x+1)(3-x)=0,$$

de unde

$$x=-1 \quad \text{sau} \quad x=3.$$

• c) Pentru $N=(n+5)*(n-5)$, folosim legea cu $x=n+5$ și $y=n-5$:

$$N=((n+5)+(n-5))(4-(n+5)-(n-5)).$$

Rezultă

$$N=2n(4-2n)=4n(2-n).$$

Pentru $n\in\mathbb N$, numărul $N$ este întreg. Ca să fie natural, trebuie să fie $N\ge 0$:

$$4n(2-n)\ge 0.$$

Deoarece $n\ge 0$, rezultă $2-n\ge 0$, deci $n\le 2$. Prin urmare,

$$n\in\{0,1,2\}.$$

Pentru aceste valori, $N$ este respectiv $0,4,0$, deci natural.

SUBIECTUL al III-lea

1. Se consideră funcția

$$f:(-1,+\infty)\to\mathbb R,\quad f(x)=x^2-x-2\ln(x+1).$$

Domeniul este corect deoarece $x+1>0$ pentru $x\in(-1,+\infty)$.

• a) Derivăm pe domeniul funcției:

$$f'(x)=2x-1-\frac{2}{x+1}.$$

Aducem la același numitor:

$$f'(x)=\frac{(2x-1)(x+1)-2}{x+1} =\frac{2x^2+2x-x-1-2}{x+1} =\frac{2x^2+x-3}{x+1}.$$

Deci

$$f'(x)=\frac{2x^2+x-3}{x+1},\quad x\in(-1,+\infty).$$

• b) Punctul de tangență are abscisa $x_0=0$. Calculăm:

$$f(0)=0^2-0-2\ln 1=0.$$

De asemenea,

$$f'(0)=\frac{2\cdot 0^2+0-3}{0+1}=-3.$$

Ecuația tangentei este

$$y-f(0)=f'(0)(x-0),$$

adică

$$y=-3x.$$

• c) Trebuie demonstrat că

$$x^2-x\ge 2\ln\frac{x+1}{2},\quad x\in(-1,+\infty).$$

Pentru $x\in(-1,+\infty)$, avem $\dfrac{x+1}{2}>0$, deci logaritmul este definit.

Din punctul a),

$$f'(x)=\frac{2x^2+x-3}{x+1} =\frac{(2x+3)(x-1)}{x+1}.$$

Pe domeniul $(-1,+\infty)$, numitorul $x+1$ este pozitiv, iar $2x+3>0$ pentru $x>-1$. Prin urmare, semnul lui $f'(x)$ este semnul lui $x-1$:

$$f'(x)<0 \text{ pe } (-1,1),\qquad f'(x)>0 \text{ pe } (1,+\infty).$$

Funcția $f$ are minim în $x=1$. Calculăm

$$f(1)=1-1-2\ln 2=-2\ln 2.$$

Deci, pentru orice $x\in(-1,+\infty)$,

$$f(x)\ge -2\ln 2.$$

Aceasta înseamnă

$$x^2-x-2\ln(x+1)\ge -2\ln 2,$$

adică

$$x^2-x\ge 2\ln(x+1)-2\ln 2 =2\ln\frac{x+1}{2}.$$

Inegalitatea este demonstrată.

2. Se consideră funcția

$$f:\mathbb R\to\mathbb R,\quad f(x)=x^2+3x+1.$$

• a) Avem

$$f(x)-3x=x^2+3x+1-3x=x^2+1.$$

Prin urmare,

$$\int_0^3 (f(x)-3x)\,dx =\int_0^3 (x^2+1)\,dx =\left(\frac{x^3}{3}+x\right)\Bigg|_0^3 =\frac{27}{3}+3=12.$$

• b) Observăm că

$$f(x)-x^2=3x+1.$$

Pe intervalul $[0,1]$, $3x+1>0$, deci integrala este definită. Atunci

$$\int_0^1 \frac{1}{(f(x)-x^2)^2}\,dx =\int_0^1 \frac{1}{(3x+1)^2}\,dx.$$

Cu substituția $u=3x+1$, $du=3\,dx$, iar limitele devin $u(0)=1$, $u(1)=4$. Rezultă

$$\int_0^1 \frac{1}{(3x+1)^2}\,dx =\frac13\int_1^4 u^{-2}\,du =\frac13\left[-\frac1u\right]_1^4 =\frac13\left(1-\frac14\right) =\frac14.$$

• c) Funcția este

$$g(x)=\frac{f(x)-x^2-1}{e^x}.$$

Deoarece $f(x)=x^2+3x+1$, obținem

$$g(x)=\frac{x^2+3x+1-x^2-1}{e^x} =\frac{3x}{e^x}=3xe^{-x}.$$

Pe intervalul $[0,1]$, avem $g(x)\ge 0$. Aria cerută este

$$\mathcal A=\int_0^1 g(x)\,dx =3\int_0^1 xe^{-x}\,dx.$$

Calculăm prin părți:

$$\int xe^{-x}\,dx=-(x+1)e^{-x}.$$

Astfel,

$$\mathcal A=3\left[-(x+1)e^{-x}\right]_0^1 =3\left(-\frac{2}{e}+1\right) =3\left(1-\frac2e\right).$$

Deci aria este

$$\boxed{3\left(1-\frac2e\right)}.$$

Autoevaluare pentru punctaj maxim

• Toate cele 18 subiteme au fost rezolvate în ordinea din subiect.
• Calculele algebrice, matriciale, de probabilitate, derivare și integrare au fost verificate.
• Condițiile de domeniu pentru logaritmi și integrale au fost precizate unde sunt relevante.
• Demonstrațiile cerute prin „Arătați” includ justificarea completă a egalităților sau inegalităților.
• Rezultatele finale sunt simplificate și evidențiate în forma cerută de subiect.