Subiectul BAC Mate șt. naturii 2023 · Iunie–Iulie

SUBIECTUL I (30 de puncte)

1. (5p) Arătați că $4 - 6\sqrt{3} + 3(2\sqrt{3} - 1) = 1$.

2. (5p) Se consideră funcțiile $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $f(x)=5x-3$ și $g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $g(x)=2x+3$. Determinați numărul real $a$ pentru care $f(a)=g(a)$.

3. (5p) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $2^{2x+1}\cdot 2^3=1$.

4. (5p) Determinați câte numere naturale, de două cifre distincte, se pot forma cu cifre din mulțimea $A=\{3,4,5,6\}$.

5. (5p) În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(4,0)$, $B(0,2)$, $C(3,3)$ și $M$, mijlocul segmentului $AB$. Arătați că segmentele $MO$ și $MC$ au lungimile egale.

6. (5p) Se consideră $E(x)=2\sin x\sin 2x-\cos x$, unde $x$ este număr real. Arătați că $E\left(\frac{\pi}{6}\right)=0$.

SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

1. Se consideră matricele $I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}$ și $A(a)=\begin{pmatrix}3+a&2-2a\\1-a&1+3a\end{pmatrix}$, unde $a$ este număr real.

a) (5p) Arătați că $\det(A(0))=1$.

b) (5p) Arătați că $A(0)\cdot(A(a)-A(0))=aI_2$, pentru orice număr real $a$.

c) (5p) Demonstrați că $\det(A(a^2)-aA(a))\ge 0$, pentru orice număr real $a$.

2. Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $x\circ y=x^2-4xy+3y^2$.

a) (5p) Arătați că $0\circ 2=12$.

b) (5p) Determinați numerele reale $x$ pentru care $(2x)\circ x=-1$.

c) (5p) Determinați perechile $(m,n)$ de numere întregi, cu $m<n$, pentru care $m\circ n=3$.

SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

1. Se consideră funcția $f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}$, $f(x)=5+\frac{4x-4}{x^2}$.

a) (5p) Arătați că $f'(x)=\frac{4(2-x)}{x^3}$, $x\in(0,+\infty)$.

b) (5p) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre $+\infty$ la graficul funcției $f$.

c) (5p) Demonstrați că $|f(x)-f(y)|\le 1$, pentru orice $x,y\in[1,+\infty)$.

2. Se consideră funcția $f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}$, $f(x)=3x^2+4\ln x$.

a) (5p) Arătați că $\int_1^2 (f(x)-4\ln x)\,dx=7$.

b) (5p) Arătați că $\int_1^e x(f(x)-3x^2)\,dx=e^2+1$.

c) (5p) Demonstrați că $\int_1^{\sqrt{e}} f(x)F''(x)\,dx=\frac{(3e-1)(3e+5)}{2}$, pentru orice primitivă $F:(0,+\infty)\to\mathbb{R}$ a funcției $f$.

---

Sursă PDF: 2023_E_c_Matematica_S1_M_st-nat_Subiect_01_LRO.pdf — distribuit oficial de Ministerul Educației, arhivat pe pro-matematica.ro.