Subiectul BAC Mate șt. naturii 2023 · Sesiunea specială

SUBIECTUL I (30 de puncte)

1. (5p) Arătați că $(\sqrt{6}-2)(\sqrt{6}+2)=2$.

2. (5p) Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $f(x)=x^2+1$. Determinați numerele reale $a$ pentru care $f(a)=1-a$.

3. (5p) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\log_4(x^2+4)=\log_4(6x-4)$.

4. (5p) Determinați câte numere naturale de două cifre, cu cifra zecilor număr impar, se pot forma cu elementele mulțimii $\{1,2,3,4,5\}$.

5. (5p) În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(1,-5)$ și $B(5,5)$. Determinați distanța de la punctul $O$ la mijlocul segmentului $AB$.

6. (5p) Se consideră triunghiul $ABC$, dreptunghic în $A$, cu $AC=6$ și $\operatorname{tg} C=\sqrt{3}$. Arătați că aria triunghiului $ABC$ este egală cu $18\sqrt{3}$.

SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

1. Se consideră matricele

$$I_2=\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix} \quad\text{și}\quad A(a)=\begin{pmatrix} 1-a & a\\ -3a & 3a+1 \end{pmatrix},$$

unde $a$ este număr real.

a) (5p) Arătați că $\det(A(2))=5$.

b) (5p) Arătați că $A(a)-I_2=a(A(1)-I_2)$, pentru orice număr real $a$.

c) (5p) Determinați numărul întreg $m$ pentru care $A(m)\cdot A(2m)=A(1)$.

2. Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție

$$x\circ y=xy-x-y+4.$$

a) (5p) Arătați că $0\circ 3=1$.

b) (5p) Determinați numerele reale $x$ pentru care $x\circ x=3x$.

c) (5p) Determinați numărul real $a$, știind că $x\circ a=x+a$, pentru orice număr real $x$.

SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

1. Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $f(x)=e^x(x^2+2x-2)$.

a) (5p) Arătați că $f'(x)=e^x(x^2+4x)$, $x\in\mathbb{R}$.

b) (5p) Arătați că

$$\lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{f'(x)}=1.$$

c) (5p) Demonstrați că $e^{x+4}(x^2+2x-2)\le 6$, pentru orice $x\in(-\infty,0]$.

2. Se consideră funcția $f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}$, $f(x)=x^3+\frac{3}{x}$.

a) (5p) Arătați că

$$\int_1^2\left(f(x)-\frac{3}{x}\right)\,dx=\frac{15}{4}.$$

b) (5p) Demonstrați că orice primitivă $G:(0,+\infty)\to\mathbb{R}$ a funcției $g:(0,+\infty)\to\mathbb{R}$, $g(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}f(x)$, este crescătoare.

c) (5p) Arătați că

$$\int_1^{\sqrt{3}}\frac{1}{f(x)}\,dx=\frac{\pi}{12\sqrt{3}}.$$

---

Sursă PDF: 2023_E_c_Matematica_SS_M_st-nat_Subiect_06_LRO.pdf — distribuit oficial de Ministerul Educației, arhivat pe pro-matematica.ro.