Subiectul BAC Mate șt. naturii 2023 · August–Septembrie

SUBIECTUL I (30 de puncte)

1. (5p) Arătați că $3-4i+i(4-i)=4$, unde $i^2=-1$.

2. (5p) Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $f(x)=4-2x$. Arătați că $(f\circ f)(1)=0$.

3. (5p) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\log_5(x^2-2x+6)=\log_5 6$.

4. (5p) Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta să fie divizibil cu $3$ și cu $7$.

5. (5p) În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(1,2)$, $B(a,0)$ și $C(0,b)$. Determinați numerele reale $a$ și $b$, știind că punctul $A$ este mijlocul segmentului $BC$.

6. (5p) Se consideră triunghiul $ABC$, cu $AB=AC=10$ și $BC=16$. Arătați că $AD=6$, unde $AD$ este înălțime în triunghiul $ABC$.

SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

1. Se consideră matricele $I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}$, $A=\begin{pmatrix}1&2\\-1&-2\end{pmatrix}$ și $B(x)=\begin{pmatrix}x+1&2x+1\\x-1&2x-1\end{pmatrix}$, unde $x$ este număr real.

a) (5p) Arătați că $\det(B(2))=4$.

b) (5p) Determinați numărul real $a$ pentru care $B(0)\cdot B(1)=aA$.

c) (5p) Determinați numărul real $x$ pentru care $A\cdot B(x)=A\cdot(B(0)-3I_2)$.

2. Se consideră polinomul $f=X^3+2X^2+mX-3$, unde $m$ este număr real.

a) (5p) Pentru $m=0$, arătați că $f(1)=0$.

b) (5p) Determinați numărul real $m$ pentru care polinomul $f$ este divizibil cu polinomul $X+1$.

c) (5p) Determinați numărul real $m$ pentru care $(1-x_1)(1-x_2)(1-x_3)=x_1x_2x_3$, unde $x_1$, $x_2$ și $x_3$ sunt rădăcinile polinomului $f$.

SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

1. Se consideră funcția $f:(1,+\infty)\to\mathbb{R}$, $f(x)=\dfrac{3x^2}{x^2+x-2}$.

a) (5p) Arătați că $f'(x)=\dfrac{3x(x-4)}{(x^2+x-2)^2}$, $x\in(1,+\infty)$.

b) (5p) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre $+\infty$ la graficul funcției $f$.

c) (5p) Demonstrați că $f(x)+f(x^2)\geq\dfrac{17}{3}$, pentru orice $x\in(1,2]$.

2. Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $f(x)=x(x-1)^2$.

a) (5p) Arătați că $\displaystyle\int_3^7 \frac{f(x)}{(x-1)^2}\,dx=20$.

b) (5p) Arătați că $\displaystyle\int_2^3 \frac{x}{f(x)}\,dx=\frac{1}{2}$.

c) (5p) Arătați că $\displaystyle\int_0^1 \frac{x f(e^x)}{e^x}\,dx=\frac{e^2-5}{4}$.

---

Sursă PDF: 2023_E_c_Matematica_S2_M_st-nat_Subiect_07_LRO.pdf — distribuit oficial de Ministerul Educației, arhivat pe pro-matematica.ro.