Soluții BAC Mate șt. naturii 2023 · August–Septembrie

SUBIECTUL I

1. Avem $i^2=-1$, deci

$$3-4i+i(4-i)=3-4i+4i-i^2=3+1=4.$$

Prin urmare, egalitatea este adevărată.

2. Pentru $f(x)=4-2x$, calculăm

$$f(1)=4-2=2.$$

Atunci

$$(f\circ f)(1)=f(f(1))=f(2)=4-2\cdot 2=0.$$

3. Ecuația este

$$\log_5(x^2-2x+6)=\log_5 6.$$

Argumentul logaritmului este pozitiv pentru orice $x\in\mathbb R$, deoarece

$$x^2-2x+6=(x-1)^2+5>0.$$

Cum baza $5>0$, $5\ne 1$, rezultă

$$x^2-2x+6=6 \Longleftrightarrow x^2-2x=0 \Longleftrightarrow x(x-2)=0.$$

Soluțiile sunt

$$\boxed{x\in\{0,2\}}.$$

4. Numerele naturale de două cifre sunt de la $10$ la $99$, deci sunt $90$ numere.

Un număr divizibil cu $3$ și cu $7$ este divizibil cu $\operatorname{lcm}(3,7)=21$. Multiplii de $21$ cu două cifre sunt

$$21,\ 42,\ 63,\ 84,$$

adică $4$ cazuri favorabile. Probabilitatea este

$$P=\frac{4}{90}=\boxed{\frac{2}{45}}.$$

5. Dacă $A(1,2)$ este mijlocul segmentului $BC$, unde $B(a,0)$ și $C(0,b)$, atunci

$$A\left(\frac{a+0}{2},\frac{0+b}{2}\right)=\left(\frac a2,\frac b2\right).$$

Prin identificarea coordonatelor,

$$\frac a2=1,\qquad \frac b2=2.$$

Rezultă

$$\boxed{a=2,\quad b=4}.$$

6. Deoarece $AB=AC=10$, triunghiul $ABC$ este isoscel cu baza $BC=16$. Într-un triunghi isoscel, înălțimea din vârf pe bază este și mediană, deci

$$BD=DC=\frac{BC}{2}=8.$$

În triunghiul dreptunghic $ABD$, prin teorema lui Pitagora:

$$AD^2=AB^2-BD^2=10^2-8^2=100-64=36.$$

Cum $AD>0$, obținem

$$\boxed{AD=6}.$$

SUBIECTUL al II-lea

1. Se consideră

$$I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix},\qquad A=\begin{pmatrix}1&2\\-1&-2\end{pmatrix},\qquad B(x)=\begin{pmatrix}x+1&2x+1\\x-1&2x-1\end{pmatrix}.$$

• a) Pentru $x=2$,

$$B(2)=\begin{pmatrix}3&5\\1&3\end{pmatrix}.$$

Atunci

$$\det(B(2))=3\cdot 3-5\cdot 1=9-5=4.$$

• b) Calculăm

$$B(0)=\begin{pmatrix}1&1\\-1&-1\end{pmatrix},\qquad B(1)=\begin{pmatrix}2&3\\0&1\end{pmatrix}.$$

Produsul este

$$B(0)B(1)= \begin{pmatrix}1&1\\-1&-1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}2&3\\0&1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}2&4\\-2&-4\end{pmatrix} =2\begin{pmatrix}1&2\\-1&-2\end{pmatrix} =2A.$$

Din $B(0)B(1)=aA$, rezultă

$$\boxed{a=2}.$$

• c) Avem

$$A B(x)= \begin{pmatrix}1&2\\-1&-2\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x+1&2x+1\\x-1&2x-1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}3x-1&6x-1\\-3x+1&-6x+1\end{pmatrix}.$$

De asemenea,

$$B(0)-3I_2= \begin{pmatrix}1&1\\-1&-1\end{pmatrix} -\begin{pmatrix}3&0\\0&3\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-2&1\\-1&-4\end{pmatrix},$$

de unde

$$A(B(0)-3I_2)= \begin{pmatrix}1&2\\-1&-2\end{pmatrix} \begin{pmatrix}-2&1\\-1&-4\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-4&-7\\4&7\end{pmatrix}.$$

Egalitatea $AB(x)=A(B(0)-3I_2)$ dă, de exemplu din prima linie,

$$3x-1=-4,\qquad 6x-1=-7,$$

ambele conducând la

$$\boxed{x=-1}.$$

2. Se consideră polinomul

$$f=X^3+2X^2+mX-3,\qquad m\in\mathbb R.$$

• a) Pentru $m=0$,

$$f(X)=X^3+2X^2-3.$$

Atunci

$$f(1)=1^3+2\cdot 1^2-3=1+2-3=0.$$

• b) Polinomul $f$ este divizibil cu $X+1$ dacă și numai dacă $f(-1)=0$. Calculăm

$$f(-1)=(-1)^3+2(-1)^2+m(-1)-3=-1+2-m-3=-m-2.$$

Condiția $f(-1)=0$ devine

$$-m-2=0 \Longleftrightarrow m=-2.$$

Prin urmare,

$$\boxed{m=-2}.$$

• c) Fie $x_1,x_2,x_3$ rădăcinile polinomului $f$. Deoarece $f$ este monic,

$$f(X)=(X-x_1)(X-x_2)(X-x_3).$$

Din relațiile lui Viète pentru

$$X^3+2X^2+mX-3$$

obținem

$$x_1x_2x_3=3.$$

Pe de altă parte,

$$(1-x_1)(1-x_2)(1-x_3)=f(1).$$

Dar

$$f(1)=1+2+m-3=m.$$

Condiția din enunț devine

$$m=x_1x_2x_3=3.$$

Deci

$$\boxed{m=3}.$$

SUBIECTUL al III-lea

1. Se consideră funcția

$$f:(1,+\infty)\to\mathbb R,\qquad f(x)=\frac{3x^2}{x^2+x-2}.$$

Pe domeniul dat, $x^2+x-2=(x-1)(x+2)\ne 0$.

• a) Folosind regula derivării unui raport,

$$f'(x)=\frac{(3x^2)'(x^2+x-2)-3x^2(x^2+x-2)'}{(x^2+x-2)^2}.$$

Rezultă

$$f'(x)=\frac{6x(x^2+x-2)-3x^2(2x+1)}{(x^2+x-2)^2}.$$

Numărătorul este

$$6x^3+6x^2-12x-6x^3-3x^2=3x^2-12x=3x(x-4).$$

Așadar,

$$\boxed{f'(x)=\frac{3x(x-4)}{(x^2+x-2)^2}},\qquad x\in(1,+\infty).$$

• b) Asimptota orizontală spre $+\infty$ se obține din limita

$$\lim_{x\to+\infty} f(x) =\lim_{x\to+\infty}\frac{3x^2}{x^2+x-2}=3.$$

Prin urmare, ecuația asimptotei orizontale este

$$\boxed{y=3}.$$

• c) Pentru $t\in(1,4)$, din formula derivatei rezultă

$$f'(t)=\frac{3t(t-4)}{(t^2+t-2)^2}<0,$$

deci funcția $f$ este descrescătoare pe $(1,4]$.

Dacă $x\in(1,2]$, atunci $x\le 2$ și $x^2\le 4$. Cum $f$ este descrescătoare pe $(1,4]$, avem

$$f(x)\ge f(2),\qquad f(x^2)\ge f(4).$$

Calculăm

$$f(2)=\frac{3\cdot 2^2}{2^2+2-2}=\frac{12}{4}=3,$$

și

$$f(4)=\frac{3\cdot 4^2}{4^2+4-2}=\frac{48}{18}=\frac{8}{3}.$$

Prin urmare,

$$f(x)+f(x^2)\ge 3+\frac83=\frac{17}{3}.$$

Deci

$$\boxed{f(x)+f(x^2)\ge \frac{17}{3}},\qquad \forall x\in(1,2].$$

2. Se consideră funcția

$$f:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad f(x)=x(x-1)^2.$$

• a) Pentru $x\in[3,7]$, avem $x-1\ne 0$, iar

$$\frac{f(x)}{(x-1)^2}=\frac{x(x-1)^2}{(x-1)^2}=x.$$

Astfel,

$$\int_3^7 \frac{f(x)}{(x-1)^2}\,dx =\int_3^7 x\,dx =\left.\frac{x^2}{2}\right|_3^7 =\frac{49-9}{2}=20.$$

• b) Pentru $x\in[2,3]$, avem $x\ne 0$ și $x-1\ne 0$, deci

$$\frac{x}{f(x)}=\frac{x}{x(x-1)^2}=\frac{1}{(x-1)^2}.$$

Prin urmare,

$$\int_2^3 \frac{x}{f(x)}\,dx =\int_2^3 \frac{1}{(x-1)^2}\,dx =\int_2^3 (x-1)^{-2}\,dx.$$

O primitivă este

$$-\frac{1}{x-1}.$$

Atunci

$$\int_2^3 \frac{x}{f(x)}\,dx =\left.-\frac{1}{x-1}\right|_2^3 =-\frac12-(-1)=\frac12.$$

• c) Avem

$$f(e^x)=e^x(e^x-1)^2,$$

deci

$$\frac{x f(e^x)}{e^x}=x(e^x-1)^2=x(e^{2x}-2e^x+1).$$

Atunci

$$\int_0^1 \frac{x f(e^x)}{e^x}\,dx =\int_0^1 x e^{2x}\,dx-2\int_0^1 x e^x\,dx+\int_0^1 x\,dx.$$

Calculăm pe rând:

$$\int x e^{2x}\,dx=e^{2x}\left(\frac{x}{2}-\frac14\right),$$

deci

$$\int_0^1 x e^{2x}\,dx =\left.e^{2x}\left(\frac{x}{2}-\frac14\right)\right|_0^1 =\frac{e^2}{4}+\frac14.$$

De asemenea,

$$\int x e^x\,dx=e^x(x-1),$$

deci

$$\int_0^1 x e^x\,dx =\left.e^x(x-1)\right|_0^1 =0-(-1)=1.$$

În plus,

$$\int_0^1 x\,dx=\frac12.$$

Prin urmare,

$$\int_0^1 \frac{x f(e^x)}{e^x}\,dx =\frac{e^2}{4}+\frac14-2+\frac12 =\frac{e^2-5}{4}.$$

Astfel,

$$\boxed{\int_0^1 \frac{x f(e^x)}{e^x}\,dx=\frac{e^2-5}{4}}.$$

Autoevaluare pentru punctaj maxim

• Am rezolvat toate cele 6 exerciții din SUBIECTUL I și toate subpunctele din SUBIECTELE al II-lea și al III-lea, în ordinea din subiect.
• Am verificat condițiile de domeniu pentru logaritm, rapoarte, funcții și integrale.
• Am inclus calculele esențiale pentru matrice, determinant, polinom, derivată, monotonie, limită și integrale.
• Am justificat complet cerințele de tip „Arătați” și „Demonstrați”.
• Rezultatele finale au fost simplificate și evidențiate.