Subiectul BAC Mate șt. naturii 2022 · Iunie–Iulie

SUBIECTUL I (30 de puncte)

1. (5p) Determinați termenul $a_1$ al progresiei aritmetice $(a_n)_{n\geq 1}$, știind că $a_2 = 6$ și $a_3 = 12$. 2. (5p) Se consideră funcția $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = x - 5$. Determinați numărul real $a$ pentru care $f(a) + f(2a) = 2$. 3. (5p) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $5^x \cdot \dfrac{1}{5} = 25$. 4. (5p) Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta să fie multiplu de $16$. 5. (5p) În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(3, 2)$ și $B(1, 4)$. Determinați coordonatele punctului $C$, astfel încât punctul $A$ este mijlocul segmentului $BC$. 6. (5p) Se consideră expresia $E(x) = \sin x + \sin \dfrac{3x}{2} - \cos \dfrac{x}{2}$, unde $x$ este număr real. Arătați că $E\left(\dfrac{\pi}{3}\right) = 1$.

SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

1. Se consideră matricele $A = \begin{pmatrix}1 & -1\\-1 & 1\end{pmatrix}$, $I_2 = \begin{pmatrix}1 & 0\\0 & 1\end{pmatrix}$ și $B(x) = \begin{pmatrix}x & 3 - x\\2 - x & x\end{pmatrix}$, unde $x$ este număr real. a) (5p) Arătați că $\det A = 0$. b) (5p) Arătați că $B(x) - B(0) = xA$, pentru orice număr real $x$. c) (5p) Arătați că matricea $C(a) = B(a) \cdot B(1) - B(a + 1)$ este inversabilă, pentru orice număr întreg $a$.
2. Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $x * y = (2x - 1)(2y - 1) + 1$. a) (5p) Arătați că $1 * 2 = 4$. b) (5p) Determinați numerele reale $x$ pentru care $x * x = 2$. c) (5p) Determinați numărul întreg nenul $m$ pentru care $m * \left(1 + \dfrac{1}{m}\right) = 1$.

SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

1. Se consideră funcția $f : (0, +\infty) \to \mathbb{R}$, $f(x) = 2x^2 + 1 + \ln x$. a) (5p) Arătați că $f'(x) = \dfrac{4x^2 + 1}{x}$, $x \in (0, +\infty)$. b) (5p) Arătați că $\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{f(x) - \ln x}{x^2 + x + 4} = 2$. c) (5p) Demonstrați că funcția $f$ este bijectivă.

2. Se consideră funcția $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = x(e^x + 2x^2)$. a) (5p) Arătați că $\displaystyle\int_0^4 \dfrac{f(x)}{e^x + 2x^2}\,dx = 8$.

b) (5p) Arătați că $\displaystyle\int_0^1 \left(f(x) - 2x^3\right)\,dx = 1$. c) (5p) Determinați numărul real $a$ pentru care $\displaystyle\int_1^2 \dfrac{1}{x} \cdot f(x^2)\,dx = \dfrac{e^4 - e}{2} + a$.

Sursă PDF: 2022_E_c_Matematica_S1_M_st-nat_Subiect_01_LRO.pdf — distribuit oficial de Ministerul Educației, arhivat pe pro-matematica.ro.