Subiectul BAC Mate șt. naturii 2022 · Sesiunea specială

SUBIECTUL I (30 de puncte)

1. (5p) Arătați că $\sqrt{2}(\sqrt{2}-1)(2+\sqrt{2})=2$. 2. (5p) Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $f(x)=2x^2-4x$. Determinați abscisele punctelor de intersecție a graficului funcției $f$ cu axa $Ox$. 3. (5p) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $2^{x-3}=\frac{1}{2^{2x}}$. 4. (5p) Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta să fie multiplu de 11. 5. (5p) În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(-1,0)$, $B(0,3)$ și $C(4,0)$. Arătați că triunghiul $ABC$ este isoscel. 6. (5p) Se consideră $E(x)=\operatorname{tg}x+\sin\frac{3x}{2}-2\cos\frac{x}{2}$, unde $x\in\left(0,\frac{\pi}{2}\right)$. Arătați că $E\left(\frac{\pi}{3}\right)=1$.

SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

1. Se consideră matricele $M(x)=\begin{pmatrix}x+1&-x\\-2x&2x+1\end{pmatrix}$, unde $x$ este număr real. a) (5p) Arătați că $\det(M(1))=4$. b) (5p) Arătați că $M(x)\cdot M(1)=M(4x+1)$, pentru orice număr real $x$. c) (5p) Determinați numărul real $x$ pentru care $M(x)\cdot M(1)\cdot M(1)=M(x+2)$.

2. Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $x\circ y=5xy+10x+10y+18$. a) (5p) Arătați că $(-1)\circ 0=8$. b) (5p) Demonstrați că $x\circ y=5(x+2)(y+2)-2$, pentru orice numere reale $x$ și $y$. c) (5p) Determinați numărul întreg $m$ pentru care $m\circ m=m$.

SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

1. Se consideră funcția $f:(1,+\infty)\to\mathbb{R}$, $f(x)=\frac{x^2+1}{x-1}+\ln(x-1)$. a) (5p) Arătați că $f'(x)=\frac{x^2-x-2}{(x-1)^2}$, $x\in(1,+\infty)$. b) (5p) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $f$ în punctul de abscisă $x=2$, situat pe graficul funcției $f$. c) (5p) Demonstrați că $\frac{x^2+1}{x-1}+\ln(x-1)\geq 5$, pentru orice $x\in(1,+\infty)$.

2. Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $f(x)=\frac{x+4}{6x^2+1}$. a) (5p) Arătați că $\int_0^2 f(x)(6x^2+1)\,dx=10$. b) (5p) Arătați că $\int_0^2\left(f(x)-\frac{4}{6x^2+1}\right)\,dx=\frac{\ln 5}{6}$. c) (5p) Determinați numărul real $m$ pentru care $\int_0^1\frac{x+4}{f(x)}\cdot e^{2x}\,dx=m(e^2-1)$.

Sursă PDF: 2022_E_c_Matematica_SS_M_st-nat_Subiect_03_LRO.pdf — distribuit oficial de Ministerul Educației, arhivat pe pro-matematica.ro.