Soluții BAC Mate șt. naturii 2022 · Sesiunea specială

SUBIECTUL I

1. Arătăm că $\sqrt2(\sqrt2-1)(2+\sqrt2)=2$.

Calculăm mai întâi:

$$\sqrt2(\sqrt2-1)=2-\sqrt2.$$

Atunci:

$$\sqrt2(\sqrt2-1)(2+\sqrt2)=(2-\sqrt2)(2+\sqrt2)=2^2-(\sqrt2)^2=4-2=2.$$

2. Funcția este $f:\mathbb R\to\mathbb R$, $f(x)=2x^2-4x$. Punctele de intersecție cu axa $Ox$ au ordonata $0$, deci rezolvăm $f(x)=0$:

$$2x^2-4x=0 \iff 2x(x-2)=0.$$

Rezultă:

$$x=0 \quad \text{sau} \quad x=2.$$

Abscisele sunt $\boxed{0}$ și $\boxed{2}$.

3. Rezolvăm ecuația:

$$2^{x-3}=\frac{1}{2^{2x}}.$$

Scriem membrul drept ca putere cu baza $2$:

$$\frac{1}{2^{2x}}=2^{-2x}.$$

Ecuația devine:

$$2^{x-3}=2^{-2x}.$$

Deoarece funcția exponențială de bază $2$ este injectivă, egalăm exponenții:

$$x-3=-2x \iff 3x=3 \iff x=1.$$

Soluția este $\boxed{x=1}$.

4. Numerele naturale de două cifre sunt $10,11,\ldots,99$, deci sunt $90$ cazuri posibile.

Multiplii de $11$ de două cifre sunt:

$$11,22,33,44,55,66,77,88,99,$$

deci sunt $9$ cazuri favorabile. Probabilitatea este:

$$p=\frac{9}{90}=\frac{1}{10}.$$

Răspuns: $\boxed{\frac{1}{10}}$.

5. Avem punctele $A(-1,0)$, $B(0,3)$, $C(4,0)$.

Calculăm lungimile:

$$AC=\sqrt{(4-(-1))^2+(0-0)^2}=\sqrt{25}=5,$$ $$BC=\sqrt{(4-0)^2+(0-3)^2}=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5.$$

Deoarece $AC=BC$, triunghiul $ABC$ este isoscel.

6. Se consideră:

$$E(x)=\operatorname{tg}x+\sin\frac{3x}{2}-2\cos\frac{x}{2},\qquad x\in\left(0,\frac{\pi}{2}\right).$$

Pentru $x=\frac{\pi}{3}$, avem:

$$\operatorname{tg}\frac{\pi}{3}=\sqrt3,\qquad \sin\frac{3\pi}{6}=\sin\frac{\pi}{2}=1,\qquad \cos\frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt3}{2}.$$

Prin urmare:

$$E\left(\frac{\pi}{3}\right)=\sqrt3+1-2\cdot\frac{\sqrt3}{2} =\sqrt3+1-\sqrt3=1.$$

SUBIECTUL al II-lea

1. Se consideră:

$$M(x)= \begin{pmatrix} x+1 & -x\\ -2x & 2x+1 \end{pmatrix},\qquad x\in\mathbb R.$$

• a) Pentru $x=1$:

$$M(1)= \begin{pmatrix} 2 & -1\\ -2 & 3 \end{pmatrix}.$$

Determinantul este:

$$\det M(1)=2\cdot 3-(-1)(-2)=6-2=4.$$

• b) Calculăm:

$$M(x)M(1)= \begin{pmatrix} x+1 & -x\\ -2x & 2x+1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & -1\\ -2 & 3 \end{pmatrix}.$$

Rezultă:

$$M(x)M(1)= \begin{pmatrix} 2x+2+2x & -x-1-3x\\ -4x-4x-2 & 2x+6x+3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4x+2 & -4x-1\\ -8x-2 & 8x+3 \end{pmatrix}.$$

Dar:

$$M(4x+1)= \begin{pmatrix} 4x+2 & -(4x+1)\\ -2(4x+1) & 2(4x+1)+1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4x+2 & -4x-1\\ -8x-2 & 8x+3 \end{pmatrix}.$$

Deci:

$$M(x)M(1)=M(4x+1),\qquad \forall x\in\mathbb R.$$

• c) Trebuie să determinăm $x\in\mathbb R$ astfel încât:

$$M(x)M(1)M(1)=M(x+2).$$

Din punctul b):

$$M(x)M(1)=M(4x+1).$$

Aplicând din nou aceeași relație:

$$M(x)M(1)M(1)=M(4x+1)M(1)=M(4(4x+1)+1)=M(16x+5).$$

Ecuația devine:

$$M(16x+5)=M(x+2).$$

Matricea $M(t)$ este determinată de parametrul $t$, de exemplu prin elementul de pe poziția $(1,2)$, egal cu $-t$. Deci:

$$16x+5=x+2 \iff 15x=-3 \iff x=-\frac15.$$

Răspuns: $\boxed{x=-\frac15}$.

2. Pe $\mathbb R$ este definită legea:

$$x\circ y=5xy+10x+10y+18.$$

• a) Calculăm:

$$(-1)\circ 0=5(-1)\cdot 0+10(-1)+10\cdot 0+18=-10+18=8.$$

• b) Pentru orice $x,y\in\mathbb R$:

$$x\circ y=5xy+10x+10y+18.$$

Grupăm termenii:

$$5xy+10x+10y+18=5xy+10x+10y+20-2.$$

Atunci:

$$x\circ y=5(xy+2x+2y+4)-2=5(x+2)(y+2)-2.$$

• c) Căutăm numărul întreg $m$ pentru care:

$$m\circ m=m.$$

Din formula de la b):

$$m\circ m=5(m+2)^2-2.$$

Ecuația devine:

$$5(m+2)^2-2=m.$$

Dezvoltăm:

$$5(m^2+4m+4)-2=m$$ $$5m^2+20m+18=m$$ $$5m^2+19m+18=0.$$

Factorizăm:

$$5m^2+19m+18=(m+2)(5m+9).$$

Deci:

$$m=-2 \quad \text{sau} \quad m=-\frac95.$$

Cum $m$ trebuie să fie întreg, obținem:

$$\boxed{m=-2}.$$

SUBIECTUL al III-lea

1. Se consideră funcția:

$$f:(1,+\infty)\to\mathbb R,\qquad f(x)=\ln(x-1)+\frac{x^2+1}{x-1}.$$

• a) Pentru $x>1$, derivăm:

$$\left(\ln(x-1)\right)'=\frac{1}{x-1}.$$

Pentru al doilea termen:

$$\left(\frac{x^2+1}{x-1}\right)' = \frac{2x(x-1)-(x^2+1)}{(x-1)^2} = \frac{2x^2-2x-x^2-1}{(x-1)^2} = \frac{x^2-2x-1}{(x-1)^2}.$$

Deci:

$$f'(x)=\frac{1}{x-1}+\frac{x^2-2x-1}{(x-1)^2}.$$

Aducem la același numitor:

$$f'(x)=\frac{x-1+x^2-2x-1}{(x-1)^2} = \frac{x^2-x-2}{(x-1)^2},\qquad x\in(1,+\infty).$$

• b) Calculăm valorile necesare în $x=2$:

$$f(2)=\ln(2-1)+\frac{2^2+1}{2-1}=\ln 1+5=5,$$ $$f'(2)=\frac{2^2-2-2}{(2-1)^2}=0.$$

Ecuația tangentei este:

$$y-f(2)=f'(2)(x-2).$$

Așadar:

$$y-5=0\cdot(x-2),$$

deci:

$$\boxed{y=5}.$$

• c) Trebuie să demonstrăm:

$$\ln(x-1)+\frac{x^2+1}{x-1}\ge 5,\qquad \forall x\in(1,+\infty).$$

Folosim studiul funcției $f$. Din punctul a):

$$f'(x)=\frac{x^2-x-2}{(x-1)^2} =\frac{(x-2)(x+1)}{(x-1)^2}.$$

Pentru $x>1$, avem $(x-1)^2>0$ și $x+1>0$. Semnul lui $f'(x)$ este semnul lui $x-2$.

Prin urmare:

$$f'(x)<0 \text{ pentru } x\in(1,2),\qquad f'(2)=0,\qquad f'(x)>0 \text{ pentru } x\in(2,+\infty).$$

Deci $f$ este descrescătoare pe $(1,2]$ și crescătoare pe $[2,+\infty)$. Rezultă că $f$ are minim în $x=2$, iar:

$$f(x)\ge f(2)=5,\qquad \forall x\in(1,+\infty).$$

Adică:

$$\ln(x-1)+\frac{x^2+1}{x-1}\ge 5,\qquad \forall x\in(1,+\infty).$$

2. Se consideră funcția:

$$f:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad f(x)=\frac{x+4}{6x^2+1}.$$

• a) Calculăm:

$$\int_0^2 f(x)(6x^2+1)\,dx = \int_0^2 \frac{x+4}{6x^2+1}(6x^2+1)\,dx = \int_0^2 (x+4)\,dx.$$

Atunci:

$$\int_0^2 (x+4)\,dx = \left(\frac{x^2}{2}+4x\right)\Bigg|_0^2 = \frac{4}{2}+8=2+8=10.$$

• b) Avem:

$$f(x)-\frac{4}{6x^2+1} = \frac{x+4}{6x^2+1}-\frac{4}{6x^2+1} = \frac{x}{6x^2+1}.$$

Deci:

$$\int_0^2 \left(f(x)-\frac{4}{6x^2+1}\right)\,dx = \int_0^2 \frac{x}{6x^2+1}\,dx.$$

Observăm că $(6x^2+1)'=12x$. Astfel:

$$\int_0^2 \frac{x}{6x^2+1}\,dx = \frac{1}{12}\ln(6x^2+1)\Bigg|_0^2.$$

Prin urmare:

$$\frac{1}{12}\left(\ln(25)-\ln 1\right) = \frac{1}{12}\ln 25 = \frac{1}{12}\cdot 2\ln 5 = \frac{\ln 5}{6}.$$

• c) Trebuie să determinăm $m\in\mathbb R$ pentru care:

$$\int_0^1 \frac{x+4}{f(x)}e^{2x}\,dx=m(e^2-1).$$

Deoarece:

$$f(x)=\frac{x+4}{6x^2+1},$$

rezultă:

$$\frac{x+4}{f(x)}=6x^2+1.$$

Integrala devine:

$$\int_0^1 (6x^2+1)e^{2x}\,dx.$$

Observăm că:

$$\left(3x^2e^{2x}-3xe^{2x}+2e^{2x}\right)' = (6x^2+1)e^{2x}.$$

Deci:

$$\int_0^1 (6x^2+1)e^{2x}\,dx = \left(3x^2e^{2x}-3xe^{2x}+2e^{2x}\right)\Bigg|_0^1.$$

Calculăm:

$$\left(3e^2-3e^2+2e^2\right)-2=2e^2-2=2(e^2-1).$$

Din:

$$2(e^2-1)=m(e^2-1)$$

și $e^2-1\ne 0$, obținem:

$$\boxed{m=2}.$$

Autoevaluare pentru punctaj maxim

• Am rezolvat toate cele 18 subpuncte, în ordinea din subiect.
• Am verificat calculele pentru radicali, ecuația exponențială, probabilitate, distanțe și trigonometrie.
• Am tratat complet matricea $M(x)$, determinantul, produsul de matrice și ecuația matricială.
• Am verificat legea de compoziție prin calcul direct, factorizare și condiția ca $m$ să fie întreg.
• Am precizat domeniul $x>1$ pentru funcția cu logaritm, am derivat riguros și am folosit monotonia pentru inegalitate.
• Am calculat integralele prin simplificare, substituție logaritmică și primitivă verificată prin derivare.