Subiectul BAC Mate șt. naturii 2022 · August–Septembrie

SUBIECTUL I (30 de puncte)

1. (5p) Arătați că media aritmetică a numerelor $a = 20 - \sqrt{21}$ și $b = 22 + \sqrt{21}$ este egală cu 21 . 2. (5p) Se consideră funcțiile f : ℝ → ℝ , f ( x ) = x − 1 și g : ℝ → ℝ , g ( x ) = 3 − x . Arătați că f ( a ) + g ( a ) = 2 , pentru orice număr real a . 3. (5p) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\sqrt{7x - 6} = x$ . 4. (5p) Determinați câte numere naturale pare, de două cifre, au cifrele elemente ale mulțimii {1, 2, 3, 4} . 5. (5p) În reperul cartezian xOy se consideră punctele A ( 6,0 ) și B ( 6,6 ) . Arătați că triunghiul AOM este isoscel, unde punctul M este mijlocul segmentului OB . 6. (5p) Se consideră triunghiul ABC , dreptunghic în A , astfel încât AC = 4 și măsura unghiului B este egală cu 60° . Arătați că înălțimea din vârful A a triunghiului ABC are lungimea egală cu 2 .

SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

1. Se consideră matricele $I_2 = \begin{pmatrix}1 & 0\\0 & 1\end{pmatrix}$ și $A(x) = \begin{pmatrix}1 & -x\\x & x + 1\end{pmatrix}$, unde x este număr real. a) (5p) Arătați că det ( A (1) ) = 3 . b) (5p) Arătați că A ( −1) ⋅ A ( 2 ) − A ( −1) = 2 I 2 . c) (5p) Determinați numerele reale x pentru care A ( x ) ⋅ A ( − x ) + xA ( x ) = 3I 2 .
2. Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $x \circ y = 4(xy + 1) - 3(x + y)$ . a) (5p) Arătați că $1 \circ 2 = 3$ . b) (5p) Arătați că, dacă $a \circ 3 = 4$, atunci $a \circ (-a) = 0$ . c) (5p) Determinați valorile reale ale lui x pentru care $(x \circ 1) \circ (x - 1) \leq 4$ .

SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

1. Se consideră funcția $f : (0, +\infty) \to \mathbb{R}$, $f(x) = 2x^2 + x + 3 - 5\ln x$. a) (5p) Arătați că $f'(x) = \dfrac{(x - 1)(4x + 5)}{x}$, $x \in (0, +\infty)$ . b) (5p) Arătați că $\lim_{x \to +\infty}\dfrac{f(x) + 5\ln x}{3 - x - x^2} = -2$ . c) (5p) Demonstrați că $2x^2 + x \geq 3 + 5\ln x$, pentru orice $x \in (0, +\infty)$ .
2. Se consideră funcția $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = (3 - 2x)e^x$ . a) (5p) Arătați că $\int_0^1 \dfrac{f(x)}{e^x}\,dx = 2$ . b) (5p) Arătați că $\int_0^2 f(x)\,dx = e^2 - 5$ . c) (5p) Determinați $a \in (-\infty, 1)$ pentru care $\int_a^1 \dfrac{e^{3x}}{f^3(x)}\,dx = \dfrac{2}{9}$ .

Sursă PDF: 2022_E_c_Matematica_S2_M_st-nat_Subiect_07_LRO.pdf — distribuit oficial de Ministerul Educației, arhivat pe pro-matematica.ro.