Subiectul BAC Mate șt. naturii 2021 · Iunie–Iulie

SUBIECTUL I (30 de puncte)

1. (5p) Determinați al treilea termen al progresiei geometrice $(b_n)_{n \ge 1}$, știind că $b_1 = 2$ și $b_2 = 6$.

2. (5p) Se consideră funcțiile $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = x + 7$, și $g : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $g(x) = x - 7$. Calculați $(f \circ g)(7)$.

3. (5p) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\sqrt{2x - 1} = x - 2$.

4. (5p) Calculați probabilitatea ca, alegând un număr $n$ din mulțimea numerelor naturale de o cifră, acesta să verifice inegalitatea $n(n - 1)(n - 2)(n - 3)(n - 4) > 0$.

5. (5p) În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(1,1)$, $B(-1,0)$, $C(3,5)$ și $D(5,6)$. Demonstrați că punctele $B$, $D$ și mijlocul segmentului $AC$ sunt coliniare.

6. (5p) Determinați $x \in (0,\pi)$, știind că $(\sin x - \cos x)^2 = 2$.

SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

1. Se consideră matricele

$$I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \quad \text{și} \quad A(a) = \begin{pmatrix} 1 + 2^a & 2^a \\ -2^a & 1 - 2^a \end{pmatrix},$$

unde $a$ este număr real.

a) (5p) Arătați că $\det(A(0)) = 1$.

b) (5p) Arătați că $A(1) + A(2) - A(1) \cdot A(2) = I_2$.

c) (5p) Se consideră numerele naturale $m$ și $n$, astfel încât $A(m) \cdot A(n) = A(m + n)$. Arătați că $m = n = 1$.

2. Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $x \ast y = x^2 + y^2 + x + y$.

a) (5p) Arătați că $(-1) \ast (-1) = 0$.

b) (5p) Demonstrați că $x \ast y = \left(x + \frac{1}{2}\right)^2 + \left(y + \frac{1}{2}\right)^2 - \frac{1}{2}$, pentru orice numere reale $x$ și $y$.

c) (5p) Determinați mulțimea valorilor reale ale lui $x$ pentru care $x^2 \ast x^2 \le 4$.

SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

1. Se consideră funcția $f : (-2,+\infty) \to \mathbb{R}$, $f(x) = x^2 + 4x - \frac{1}{2}\ln(x + 2)$.

a) (5p) Arătați că $f'(x) = \frac{(2x + 3)(2x + 5)}{2(x + 2)}$, $x \in (-2,+\infty)$.

b) (5p) Calculați $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{x^2 + 4x - f(x)}{x}$.

c) (5p) Demonstrați că $x^2 + 4x + \frac{15}{4} \ge \frac{1}{2}\ln(2x + 4)$, pentru orice $x \in (-2,+\infty)$.

2. Se consideră funcția $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = 1 + \frac{2}{x^2 + 1}$.

a) (5p) Arătați că $\displaystyle \int_0^3 (x^2 + 1) f(x)\, dx = 18$.

b) (5p) Arătați că $\displaystyle \int_1^3 x f(x)\, dx = 4 + \ln 5$.

c) (5p) Demonstrați că $F(x + 1) \ge F(x) + 1$, pentru orice număr real $x$, unde $F$ este o primitivă a lui $f$.

---

Sursă PDF: 2021_E_c_Matematica_S1_M_st-nat_Subiect_02_LRO.pdf — distribuit oficial de Ministerul Educației, arhivat pe pro-matematica.ro.