Subiectul BAC Mate șt. naturii 2021 · August–Septembrie

SUBIECTUL I (30 de puncte)

1. (5p) Arătați că $3(4-i)+3i(1+i)=9$, unde $i^2=-1$.

2. (5p) Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $f(x)=x^2-4$. Calculați $(f\circ f)(2)$.

3. (5p) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\log_3(x^2-2x+4)=1$.

4. (5p) Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta să fie divizibil cu $10$.

5. (5p) În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(2,4)$ și $B(3,a)$, unde $a$ este număr real. Determinați numărul real $a$, știind că punctele $O$, $A$ și $B$ sunt coliniare.

6. (5p) Se consideră $E(x)=\cos x+\cos 2x+\cos 3x$, unde $x$ este număr real. Arătați că $E\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=0$.

SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

1. Se consideră matricele $I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}\quad\text{și}\quad A(x,y)=\begin{pmatrix}x+3y&4y\\-2y&x-3y\end{pmatrix},$ unde $x$ și $y$ sunt numere reale.

• a) (5p) Arătați că $\det(A(1,1))=0$.
• b) (5p) Demonstrați că, dacă matricea $A(x,y)$ este inversabilă, atunci $|x|\ne |y|$.
• c) (5p) Determinați perechile $(m,n)$, de numere întregi, pentru care $A(m,n)\cdot A(-m,n)=I_2$.

2. Pe mulțimea $A=[0,+\infty)$ se definește legea de compoziție $x\circ y=4^{xy}-(1-x-y)$.

• a) (5p) Arătați că $2\circ 0=2$.
• b) (5p) Arătați că $x\circ \dfrac{1}{x}\ge 5$, pentru orice $x\in A$, $x\ne 0$.
• c) (5p) Demonstrați că, dacă $m$ și $n$ sunt numere naturale impare, atunci $m\circ n$ este număr natural impar.

SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

1. Se consideră funcția $f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}$, $f(x)=x^3-3\ln x$.

• a) (5p) Arătați că $f'(x)=\dfrac{3(x-1)(x^2+x+1)}{x}$, $x\in(0,+\infty)$.
• b) (5p) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $f$ în punctul de abscisă $x=1$, situat pe graficul funcției $f$.
• c) (5p) Demonstrați că $x^3\ge 3\ln x+1$, pentru orice $x\in(0,+\infty)$.

2. Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $f(x)=xe^x$.

• a) (5p) Arătați că $\displaystyle\int_0^2\dfrac{f(x)}{e^x}\,dx=2$.
• b) (5p) Arătați că $\displaystyle\int_{-1}^1(f(x)+e^x)\,dx=\dfrac{e^2+1}{e}$.
• c) (5p) Demonstrați că $\displaystyle\int_{-1-a}^{-1+a}f(x)\,dx\ge -\dfrac{2a}{e}$, pentru orice $a\in(0,+\infty)$.

---

Sursă PDF: 2021_E_c_Matematica_S2_M_st-nat_Subiect_04_LRO.pdf — distribuit oficial de Ministerul Educației, arhivat pe pro-matematica.ro.