Subiectul BAC Mate șt. naturii 2020 · Iunie–Iulie

SUBIECTUL I (30 de puncte)

1. (5p) Se consideră o progresie aritmetică $(a_n)_{n \ge 1}$ cu $a_1 = 2$ și rația $r = 3$. Calculați $a_3$.

2. (5p) Se consideră funcția $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = 2x + 1$. Determinați numerele reale $x$ pentru care $f(x^2) = 9$.

3. (5p) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $3^{2x+2} - 3^{2x} = 8$.

4. (5p) Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea $A = \{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$, acesta să fie divizor al lui 100.

5. (5p) Se consideră un punct $P$ în planul paralelogramului $ABCD$. Arătați că $\overrightarrow{PA} + \overrightarrow{PC} = \overrightarrow{PB} + \overrightarrow{PD}$.

6. (5p) Arătați că $\sin\left(x - \frac{\pi}{4}\right) + \cos\left(x + \frac{\pi}{4}\right) = 0$, pentru orice număr real $x$.

SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

1. Se consideră matricea $A(a) = \begin{pmatrix} 12+a & a \\ 1+a & 3+a \end{pmatrix}$, unde $a$ este număr real.

a) (5p) Arătați că $\det(A(0)) = 36$.

b) (5p) Determinați numerele reale $a$ pentru care $\det(A(a) - (12+a)I_2) = 0$, unde $I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$.

c) (5p) Se consideră matricea $X \in \mathcal{M}_2(\mathbb{R})$ cu proprietatea $X \cdot X = A(0)$. Arătați că cel puțin un element al matricei $X$ este număr irațional.

2. Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $x \circ y = x + \sqrt[3]{y} - 2$.

a) (5p) Arătați că $1 \circ 1 = 0$.

b) (5p) Determinați numărul real $a$ pentru care $x \circ a = x$, pentru orice număr real $x$.

c) (5p) Determinați numerele reale $x$ pentru care $x \circ x^6 = 4$.

SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

1. Se consideră funcția $f : (1,+\infty) \to \mathbb{R}$, $f(x) = x^2 - 2\sqrt{x^2 - 1}$.

a) (5p) Arătați că $f'(x) = 2x\left(1 - \frac{1}{\sqrt{x^2 - 1}}\right)$, $x \in (1,+\infty)$.

b) (5p) Calculați $\lim_{x \to +\infty} \frac{x^2 - f(x)}{x}$.

c) (5p) Demonstrați că axa $Ox$ este tangentă la graficul funcției $f$.

2. Se consideră funcția $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = \frac{x}{x^2 + 2x + 2}$.

a) (5p) Arătați că $\int_0^1 (x^2 + 2x + 2)f(x)\,dx = \frac{1}{2}$.

b) (5p) Arătați că $\int_0^2 \left(f(x) + \frac{1}{x^2 + 2x + 2}\right)\,dx = \frac{1}{2}\ln 5$.

c) (5p) Arătați că $\int_1^e \left(\frac{1}{f(x)} - 2\right)\ln x\,dx = \frac{e^2 + 5}{4}$.

---

Sursă PDF: 2020_E_c_Matematica_S1_M_st-nat_Subiect_06_LRO.pdf — distribuit oficial de Ministerul Educației și Cercetării, arhivat pe pro-matematica.ro.