Subiectul BAC Mate șt. naturii 2020 · Sesiunea specială

SUBIECTUL I (30 de puncte)

1. (5p) Arătați că $\log_2 7+\log_2 6-\log_2 21=1$.

2. (5p) Se consideră funcțiile $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $f(x)=x^2$, și $g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $g(x)=2x-1$. Demonstrați că $f(x)\ge g(x)$, pentru orice număr real $x$.

3. (5p) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\sqrt{x^2+12}=2x$.

4. (5p) Calculați probabilitatea ca, alegând un număr $x$ din mulțimea $A=\{-2,-1,0,1,2\}$, acesta să fie soluție a ecuației $x^2-3x+2=0$.

5. (5p) Determinați numerele reale $a$ și $b$, pentru care $\vec{u}=3\vec{v}$, unde $\vec{u}=a\vec{i}+6\vec{j}$ și $\vec{v}=2\vec{i}+b\vec{j}$.

6. (5p) Se consideră expresia $E(x)=\sin^2 x-\cos^2 x+\sqrt{2}(\sin x+\cos x)-2$, unde $x$ este număr real. Arătați că $E\left(\frac{\pi}{4}\right)=0$.

SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

1. Se consideră matricea

$$A(x)=\begin{pmatrix} x+2 & x+3\\ x-3 & x-2 \end{pmatrix},$$

unde $x$ este număr real.

a) (5p) Arătați că $\det(A(x))=5$, pentru orice număr real $x$.

b) (5p) Determinați numărul natural $n$ astfel încât $A(-3)+A(-2)+A(-1)+A(1)+A(2)+A(3)=nA(0)$.

c) (5p) Determinați numărul real $x$ pentru care

$$A(x)\cdot A(1)= \begin{pmatrix} 1 & 8\\ -4 & -7 \end{pmatrix}.$$

2. Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție

$$x\ast y=\frac{x+y+1}{x^2+y^2+1}.$$

a) (5p) Arătați că $0\ast 1=1$.

b) (5p) Determinați numerele reale $x$ pentru care $x\ast x=1$.

c) (5p) Demonstrați că $x\ast(-x)\le 1$, pentru orice număr real $x$.

SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

1. Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $f(x)=x\sqrt{x^2+2x+2}$.

a) (5p) Arătați că $f'(x)=\frac{2x^2+3x+2}{\sqrt{x^2+2x+2}}$, $x\in\mathbb{R}$.

b) (5p) Calculați $\lim_{x\to+\infty}\frac{f'(x)}{f(x)}$.

c) (5p) Demonstrați că, pentru orice număr real $a$, ecuația $f(x)=a$ are cel puțin o soluție.

2. Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $f(x)=xe^x+x$.

a) (5p) Arătați că $\int_0^1\left(f(x)-xe^x\right)\,dx=\frac{1}{2}$.

b) (5p) Arătați că $\int_1^2\frac{1}{x}\cdot f(x^2)\,dx=\frac{e^4-e+3}{2}$.

c) (5p) Se consideră $F:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, primitiva funcției $f$ pentru care $F(1)=0$. Arătați că $\int_0^1 F(x)\,dx=\frac{5-3e}{3}$.

---

Sursă PDF: 2020_E_c_Matematica_SS_M_st-nat_Subiect_01_LRO.pdf — distribuit oficial de Ministerul Educației și Cercetării, arhivat pe pro-matematica.ro.