Subiectul BAC Mate șt. naturii 2020 · August–Septembrie

SUBIECTUL I (30 de puncte)

1. (5p) Determinați primul termen al progresiei aritmetice $(a_n)_{n \ge 1}$, știind că $a_2 = 3$ și $a_3 = 5$.

2. (5p) Se consideră funcția $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = x^2 - 1$. Determinați numărul natural $n$ pentru care $f(n) = 3$.

3. (5p) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\sqrt{x^2 - 9} = x - 1$.

4. (5p) Determinați numărul de submulțimi cu trei elemente ale mulțimii $\{1, 2, 3, 4\}$.

5. (5p) În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $M(1,1)$, $N(3,3)$, $P(4,3)$ și $Q(1,a)$, unde $a$ este număr real. Determinați numărul real $a$, pentru care patrulaterul $MNPQ$ este trapez cu bazele $MN$ și $PQ$.

6. (5p) Calculați lungimea ipotenuzei $BC$ a triunghiului dreptunghic $ABC$, în care $AB = 5$ și $\cos B = \dfrac{1}{2}$.

SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

1. Se consideră matricea $A = \begin{pmatrix} a & 0 \\ 0 & b \end{pmatrix}$, unde $a$ și $b$ sunt numere reale.

a) (5p) Arătați că $\det(A \cdot A) = a^2b^2$, pentru orice numere reale $a$ și $b$.

b) (5p) Se consideră matricea $X \in \mathcal{M}_2(\mathbb{R})$ astfel încât $A \cdot X = X \cdot A$. Demonstrați că, dacă $a$ și $b$ sunt numere reale distincte, atunci există numerele reale $x$ și $t$ astfel încât $X = \begin{pmatrix} x & 0 \\ 0 & t \end{pmatrix}$.

c) (5p) Pentru $a = 4$ și $b = 0$, determinați matricele $Y \in \mathcal{M}_2(\mathbb{R})$ pentru care $Y \cdot Y = A$.

2. Pe mulțimea $M = [0, +\infty)$ se definește legea de compoziție $x \ast y = x\sqrt{y + 1} + y\sqrt{x + 1}$.

a) (5p) Arătați că $3 \ast 3 = 12$.

b) (5p) Demonstrați că $x \ast 0 = 0 \ast x = x$, pentru orice $x \in M$.

c) (5p) Determinați $x \in M$ pentru care $(x^2 + 2x) \ast 3 = 7$.

SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

1. Se consideră funcția $f : (-1, +\infty) \to \mathbb{R}$, $f(x) = x\ln(x + 1)$.

a) (5p) Arătați că $f'(x) = \ln(x + 1) + \dfrac{x}{x + 1}$, $x \in (-1, +\infty)$.

b) (5p) Arătați că funcția $f$ este convexă.

c) (5p) Se consideră funcția $g : (-1,0] \to \mathbb{R}$, $g(x) = (x + 1)^x$. Demonstrați că, dacă $x_1, x_2 \in (-1,0]$ astfel încât $x_1 \le x_2$, atunci $g(x_1) \ge g(x_2)$.

2. Se consideră funcția $f : [0,1] \to \mathbb{R}$, $f(x) = 1 - x^3$.

a) (5p) Arătați că $\displaystyle\int_0^1 f(x)\,dx = \dfrac{3}{4}$.

b) (5p) Arătați că $\displaystyle\int_0^1 x^2(f(x))^3\,dx = \dfrac{1}{12}$.

c) (5p) Demonstrați că $\displaystyle\int_0^1 (f(x))^{n+1}\,dx \le \int_0^1 (f(x))^n\,dx$, pentru orice număr natural nenul $n$.

---

Sursă PDF: 2020_E_c_Matematica_S2_M_st-nat_Subiect_03_LRO.pdf — distribuit oficial de Ministerul Educației și Cercetării, arhivat pe pro-matematica.ro.