Soluții BAC Mate șt. naturii 2020 · August–Septembrie

SUBIECTUL I

1. Într-o progresie aritmetică, rația este

$$r=a_3-a_2=5-3=2.$$

Atunci

$$a_1=a_2-r=3-2=1.$$

Prin urmare, primul termen este $\boxed{1}$.

2. Avem

$$f(n)=n^2-1.$$

Condiția $f(n)=3$ devine

$$n^2-1=3 \Longleftrightarrow n^2=4.$$

Deoarece $n$ este număr natural, rezultă $\boxed{n=2}$.

3. Rezolvăm ecuația

$$x^2-9=(x-1)^2.$$

Dezvoltând membrul drept, obținem

$$x^2-9=x^2-2x+1.$$

Scădem $x^2$ din ambii membri:

$$-9=-2x+1 \Longleftrightarrow -10=-2x \Longleftrightarrow x=5.$$

Verificarea este imediată:

$$5^2-9=16,\qquad (5-1)^2=16.$$

Soluția este $\boxed{x=5}$.

4. Numărul submulțimilor cu trei elemente ale mulțimii $\{1,2,3,4\}$ este

$$C_4^3=\frac{4!}{3!\cdot 1!}=4.$$

Răspunsul este $\boxed{4}$.

5. Pentru ca patrulaterul $MNPQ$ să fie trapez cu bazele $MN$ și $PQ$, trebuie să avem $MN\parallel PQ$.

Panta dreptei $MN$ este

$$m_{MN}=\frac{3-1}{3-1}=1.$$

Panta dreptei $PQ$ este

$$m_{PQ}=\frac{a-3}{1-4}=\frac{3-a}{3}.$$

Condiția de paralelism dă

$$m_{MN}=m_{PQ}\Longleftrightarrow 1=\frac{3-a}{3} \Longleftrightarrow 3=3-a \Longleftrightarrow a=0.$$

Deci $\boxed{a=0}$.

6. Triunghiul este dreptunghic, iar $BC$ este ipotenuza. Pentru unghiul $B$,

$$\cos B=\frac{AB}{BC}.$$

Din date:

$$\frac{1}{2}=\frac{5}{BC}.$$

Rezultă

$$BC=10.$$

Lungimea ipotenuzei este $\boxed{10}$.

SUBIECTUL al II-lea

1. Se consideră

$$A=\begin{pmatrix}a&0\\0&b\end{pmatrix}.$$

• a) Calculăm:

$$A\cdot A= \begin{pmatrix}a&0\\0&b\end{pmatrix} \begin{pmatrix}a&0\\0&b\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}a^2&0\\0&b^2\end{pmatrix}.$$

Prin urmare,

$$\det(A\cdot A)= \begin{vmatrix}a^2&0\\0&b^2\end{vmatrix} =a^2b^2.$$

Am arătat că $\boxed{\det(A\cdot A)=a^2b^2}$, pentru orice $a,b\in\mathbb{R}$.

• b) Fie

$$X=\begin{pmatrix}x&y\\z&t\end{pmatrix},\qquad x,y,z,t\in\mathbb{R}.$$

Atunci

$$A\cdot X= \begin{pmatrix}ax&ay\\bz&bt\end{pmatrix}, \qquad X\cdot A= \begin{pmatrix}ax&by\\az&bt\end{pmatrix}.$$

Din $A\cdot X=X\cdot A$ obținem

$$ay=by,\qquad bz=az.$$

Așadar

$$(a-b)y=0,\qquad (a-b)z=0.$$

Dacă $a\ne b$, rezultă

$$y=0,\qquad z=0.$$

Deci există $x,t\in\mathbb{R}$ astfel încât

$$X=\begin{pmatrix}x&0\\0&t\end{pmatrix}.$$

• c) Pentru $a=4$ și $b=0$,

$$A=\begin{pmatrix}4&0\\0&0\end{pmatrix}.$$

Căutăm matricele $Y\in M_2(\mathbb{R})$ pentru care $Y\cdot Y=A$.

Din $Y^2=A$ rezultă

$$A\cdot Y=Y^2Y=Y^3=YY^2=Y\cdot A.$$

Deoarece pentru această matrice $A$ valorile diagonale $4$ și $0$ sunt distincte, aplicând rezultatul de la punctul b), orice astfel de matrice $Y$ este diagonală:

$$Y=\begin{pmatrix}\alpha&0\\0&\beta\end{pmatrix}.$$

Atunci

$$Y^2= \begin{pmatrix}\alpha^2&0\\0&\beta^2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}4&0\\0&0\end{pmatrix}.$$

Rezultă

$$\alpha^2=4,\qquad \beta^2=0,$$

deci

$$\alpha\in\{-2,2\},\qquad \beta=0.$$

Matricele cerute sunt

$$\boxed{ Y=\begin{pmatrix}2&0\\0&0\end{pmatrix} \quad\text{sau}\quad Y=\begin{pmatrix}-2&0\\0&0\end{pmatrix} }.$$

2. Pe mulțimea $M=[0,+\infty)$ se definește legea

$$x*y=x\sqrt{y+1}+y\sqrt{x+1}.$$

• a) Calculăm:

$$3*3=3\sqrt{3+1}+3\sqrt{3+1} =3\cdot 2+3\cdot 2=12.$$

Deci $\boxed{3*3=12}$.

• b) Pentru orice $x\in M$,

$$x*0=x\sqrt{0+1}+0\sqrt{x+1}=x\cdot 1+0=x,$$

iar

$$0*x=0\sqrt{x+1}+x\sqrt{0+1}=0+x\cdot 1=x.$$

Prin urmare,

$$\boxed{x*0=0*x=x},\qquad \forall x\in M.$$

• c) Trebuie să determinăm $x\in M$ pentru care

$$(x^2+2x)*3=7.$$

Notăm $u=x^2+2x$. Pentru $x\in[0,+\infty)$, avem $u\in M$. Atunci

$$u*3=u\sqrt{3+1}+3\sqrt{u+1} =2u+3\sqrt{u+1}.$$

În cazul nostru,

$$u+1=x^2+2x+1=(x+1)^2.$$

Deoarece $x\in[0,+\infty)$, avem $x+1>0$, deci

$$\sqrt{(x+1)^2}=x+1.$$

Ecuația devine

$$2(x^2+2x)+3(x+1)=7.$$

Simplificăm:

$$2x^2+4x+3x+3=7 \Longleftrightarrow 2x^2+7x-4=0.$$

Discriminantul este

$$\Delta=7^2-4\cdot 2\cdot(-4)=49+32=81.$$

Astfel,

$$x=\frac{-7\pm 9}{4}.$$

Obținem

$$x=\frac12 \quad\text{sau}\quad x=-4.$$

Cum $x\in M=[0,+\infty)$, soluția admisă este

$$\boxed{x=\frac12}.$$

SUBIECTUL al III-lea

1. Se consideră funcția

$$f:(-1,+\infty)\to\mathbb{R},\qquad f(x)=x\ln(x+1).$$

• a) Funcția este definită pentru $x+1>0$, adică $x>-1$. Folosind regula produsului,

$$f'(x)=1\cdot \ln(x+1)+x\cdot \frac{1}{x+1}.$$

Deci

$$\boxed{f'(x)=\ln(x+1)+\frac{x}{x+1}},\qquad x\in(-1,+\infty).$$

• b) Calculăm derivata a doua:

$$f''(x)=\frac{1}{x+1}+\left(\frac{x}{x+1}\right)'.$$

Deoarece

$$\left(\frac{x}{x+1}\right)'=\frac{x+1-x}{(x+1)^2}=\frac{1}{(x+1)^2},$$

obținem

$$f''(x)=\frac{1}{x+1}+\frac{1}{(x+1)^2} =\frac{x+2}{(x+1)^2}.$$

Pentru $x\in(-1,+\infty)$, avem $x+2>0$ și $(x+1)^2>0$, deci

$$f''(x)>0.$$

Prin urmare, funcția $f$ este convexă pe $(-1,+\infty)$.

• c) Se consideră

$$g:(-1,0]\to\mathbb{R},\qquad g(x)=(x+1)^x.$$

Pentru $x\in(-1,0]$, avem $x+1\in(0,1]$, deci funcția este bine definită și

$$g(x)=e^{x\ln(x+1)}=e^{f(x)}.$$

Pentru $x\in(-1,0]$,

$$\ln(x+1)\le 0,\qquad \frac{x}{x+1}\le 0,$$

deoarece $x+1>0$ și $x\le 0$. Astfel,

$$f'(x)=\ln(x+1)+\frac{x}{x+1}\le 0.$$

Deci $f$ este descrescătoare pe $(-1,0]$. Cum funcția exponențială este crescătoare, rezultă că și $g=e^f$ este descrescătoare pe $(-1,0]$.

Prin urmare, dacă $x_1,x_2\in(-1,0]$ și $x_1\le x_2$, atunci

$$g(x_1)\ge g(x_2).$$

2. Se consideră funcția

$$f:[0,1]\to\mathbb{R},\qquad f(x)=1-x^3.$$

• a) Calculăm:

$$\int_0^1 f(x)\,dx=\int_0^1(1-x^3)\,dx =\left[x-\frac{x^4}{4}\right]_0^1 =1-\frac14=\frac34.$$

Deci

$$\boxed{\int_0^1 f(x)\,dx=\frac34}.$$

• b) Avem

$$\int_0^1 x^2(f(x))^3\,dx =\int_0^1 x^2(1-x^3)^3\,dx.$$

Facem substituția

$$t=1-x^3,\qquad dt=-3x^2\,dx.$$

Pentru $x=0$, $t=1$, iar pentru $x=1$, $t=0$. Atunci

$$\int_0^1 x^2(1-x^3)^3\,dx =-\frac13\int_1^0 t^3\,dt =\frac13\int_0^1 t^3\,dt.$$

Rezultă

$$\frac13\int_0^1 t^3\,dt =\frac13\left[\frac{t^4}{4}\right]_0^1 =\frac13\cdot\frac14 =\frac{1}{12}.$$

Deci

$$\boxed{\int_0^1 x^2(f(x))^3\,dx=\frac{1}{12}}.$$

• c) Pentru $x\in[0,1]$,

$$0\le x^3\le 1,$$

deci

$$0\le f(x)=1-x^3\le 1.$$

Dacă $n$ este număr natural nenul, atunci pentru orice $a\in[0,1]$ avem

$$a^{n+1}\le a^n.$$

Aplicând pentru $a=f(x)$, obținem

$$(f(x))^{n+1}\le (f(x))^n,\qquad \forall x\in[0,1].$$

Integrând pe intervalul $[0,1]$, rezultă

$$\boxed{\int_0^1 (f(x))^{n+1}\,dx\le \int_0^1 (f(x))^n\,dx},$$

pentru orice număr natural nenul $n$.

Autoevaluare pentru punctaj maxim

• Toate cele 18 subpuncte sunt rezolvate în ordinea din subiect.
• Am verificat condițiile de domeniu: $n\in\mathbb{N}$, $x\in[0,+\infty)$, $x>-1$, respectiv $x\in[0,1]$.
• Demonstrațiile pentru matrice, legea de compoziție, convexitate, monotonie și inegalitatea integralelor includ pașii justificativi necesari.
• Calculele algebrice, determinanții, derivatele și integralele au fost reverificate pentru coerență cu enunțul și baremul.