Soluții BAC Mate șt. naturii 2020 · Sesiunea specială

SUBIECTUL I

1. Avem

$$\log_2 7+\log_2 6-\log_2 21=\log_2\frac{7\cdot 6}{21} =\log_2 2=1.$$

2. Pentru orice $x\in\mathbb{R}$,

$$f(x)-g(x)=x^2-(2x-1)=x^2-2x+1=(x-1)^2\ge 0.$$

Rezultă $f(x)\ge g(x)$, pentru orice număr real $x$.

3. Ecuația este

$$\sqrt{x^2+12}=2x.$$

Deoarece membrul stâng este nenegativ, este necesar ca

$$x\ge 0.$$

Ridicăm la pătrat:

$$x^2+12=4x^2.$$

Rezultă

$$3x^2=12 \iff x^2=4.$$

Ținând cont de condiția $x\ge0$, obținem $x=2$. Verificare:

$$\sqrt{2^2+12}=\sqrt{16}=4=2\cdot2.$$

Prin urmare,

$$\boxed{S=\{2\}}.$$

4. Ecuația

$$x^2-3x+2=0$$

se factorizează:

$$(x-1)(x-2)=0,$$

deci soluțiile sunt $x=1$ și $x=2$. Ambele aparțin mulțimii

$$A=\{-2,-1,0,1,2\}.$$

Sunt $5$ cazuri posibile și $2$ cazuri favorabile, deci probabilitatea este

$$P=\frac25.$$

5. Din $\vec u=3\vec v$, unde $\vec u=a\vec i+6\vec j$ și $\vec v=2\vec i+b\vec j$, obținem

$$a\vec i+6\vec j=3(2\vec i+b\vec j)=6\vec i+3b\vec j.$$

Egalând coeficienții:

$$a=6,\qquad 6=3b.$$

Prin urmare

$$a=6,\qquad b=2.$$

6. Pentru $x=\frac{\pi}{4}$, avem

$$\sin\frac{\pi}{4}=\cos\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt2}{2}.$$

Atunci

$$\sin^2\frac{\pi}{4}-\cos^2\frac{\pi}{4}=0$$

și

$$\sqrt2\left(\sin\frac{\pi}{4}+\cos\frac{\pi}{4}\right)-2 =\sqrt2\left(\frac{\sqrt2}{2}+\frac{\sqrt2}{2}\right)-2 =\sqrt2\cdot\sqrt2-2=0.$$

Deci

$$E\left(\frac{\pi}{4}\right)=0.$$

SUBIECTUL al II-lea

1. Se consideră

$$A(x)= \begin{pmatrix} x+2 & x+3\\ x-3 & x-2 \end{pmatrix},\qquad x\in\mathbb{R}.$$

• a) Calculăm determinantul:

$$\det(A(x))=(x+2)(x-2)-(x+3)(x-3).$$

Astfel,

$$\det(A(x))=x^2-4-(x^2-9)=5,$$

pentru orice $x\in\mathbb{R}$.

• b) Observăm că

$$A(x)= \begin{pmatrix} x+2 & x+3\\ x-3 & x-2 \end{pmatrix}.$$

Pentru $x\in\{-3,-2,-1,1,2,3\}$, suma valorilor lui $x$ este $0$. Sunt $6$ matrice, deci

$$A(-3)+A(-2)+A(-1)+A(1)+A(2)+A(3) = \begin{pmatrix} 12 & 18\\ -18 & -12 \end{pmatrix}.$$

Dar

$$A(0)= \begin{pmatrix} 2 & 3\\ -3 & -2 \end{pmatrix},$$

deci suma este $6A(0)$. Rezultă

$$n=6.$$

• c) Avem

$$A(1)= \begin{pmatrix} 3 & 4\\ -2 & -1 \end{pmatrix}.$$

Calculăm produsul:

$$A(x)A(1)= \begin{pmatrix} x+2 & x+3\\ x-3 & x-2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 & 4\\ -2 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x & 3x+5\\ x-5 & 3x-10 \end{pmatrix}.$$

Impunem condiția

$$\begin{pmatrix} x & 3x+5\\ x-5 & 3x-10 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 8\\ -4 & -7 \end{pmatrix}.$$

Din prima egalitate rezultă $x=1$, iar aceasta verifică toate celelalte egalități:

$$3\cdot 1+5=8,\quad 1-5=-4,\quad 3\cdot 1-10=-7.$$

Prin urmare $x=1$.

2. Legea de compoziție este

$$x*y=\frac{x+y+1}{x^2+y^2+1},\qquad x,y\in\mathbb{R}.$$

Numitorul este strict pozitiv, deoarece $x^2+y^2+1\ge 1$.

• a) Calculăm:

$$0*1=\frac{0+1+1}{0^2+1^2+1}=\frac22=1.$$

• b) Condiția $x*x=1$ devine

$$\frac{2x+1}{2x^2+1}=1.$$

Cum $2x^2+1>0$, obținem

$$2x+1=2x^2+1 \iff 2x^2-2x=0 \iff 2x(x-1)=0.$$

Prin urmare

$$x=0 \quad \text{sau} \quad x=1.$$

• c) Calculăm

$$x*(-x)=\frac{x+(-x)+1}{x^2+(-x)^2+1} =\frac{1}{2x^2+1}.$$

Deoarece $2x^2+1\ge 1>0$, rezultă

$$\frac{1}{2x^2+1}\le 1.$$

Deci

$$x*(-x)\le 1,$$

pentru orice $x\in\mathbb{R}$.

SUBIECTUL al III-lea

1. Se consideră

$$f:\mathbb{R}\to\mathbb{R},\qquad f(x)=x\sqrt{x^2+2x+2}.$$

Observăm că

$$x^2+2x+2=(x+1)^2+1>0,$$

deci funcția este definită pe $\mathbb{R}$.

• a) Derivăm folosind regula produsului:

$$f'(x)=\sqrt{x^2+2x+2} x\cdot \frac{2x+2}{2\sqrt{x^2+2x+2}}.$$

Prin aducere la același numitor:

$$f'(x)=\frac{x^2+2x+2+x(x+1)}{\sqrt{x^2+2x+2}} =\frac{2x^2+3x+2}{\sqrt{x^2+2x+2}}.$$

Astfel,

$$f'(x)=\frac{2x^2+3x+2}{\sqrt{x^2+2x+2}},\qquad x\in\mathbb{R}.$$

• b) Pentru $x\to+\infty$,

$$\frac{f'(x)}{f(x)} = \frac{\frac{2x^2+3x+2}{\sqrt{x^2+2x+2}}}{x\sqrt{x^2+2x+2}} =\frac{2x^2+3x+2}{x(x^2+2x+2)}.$$

Împărțind la $x^3$, obținem

$$\lim_{x\to+\infty}\frac{f'(x)}{f(x)} =\lim_{x\to+\infty} \frac{\frac{2}{x}+\frac{3}{x^2}+\frac{2}{x^3}} {1+\frac{2}{x}+\frac{2}{x^2}} =0.$$

• c) Funcția $f$ este continuă pe $\mathbb{R}$, fiind produsul unor funcții continue. Mai mult,

$$\lim_{x\to+\infty}x\sqrt{x^2+2x+2}=+\infty,$$

iar, deoarece pentru $x\to-\infty$ avem $\sqrt{x^2+2x+2}\sim |x|$,

$$\lim_{x\to-\infty}x\sqrt{x^2+2x+2}=-\infty.$$

Fie $a\in\mathbb{R}$. Din cele două limite, există numere reale $u<v$ astfel încât

$$f(u)<a<f(v).$$

Prin teorema valorilor intermediare, există $c\in(u,v)$ cu

$$f(c)=a.$$

Deci, pentru orice număr real $a$, ecuația $f(x)=a$ are cel puțin o soluție reală.

2. Se consideră

$$f:\mathbb{R}\to\mathbb{R},\qquad f(x)=xe^x+x.$$

• a) Avem

$$f(x)-xe^x=xe^x+x-xe^x=x.$$

Prin urmare

$$\int_0^1\left(f(x)-xe^x\right)\,dx =\int_0^1 x\,dx =\left.\frac{x^2}{2}\right|_0^1 =\frac12.$$

• b) Calculăm

$$f(x^2)=x^2e^{x^2}+x^2,$$

deci

$$\frac1x f(x^2)=xe^{x^2}+x,\qquad x\in[1,2].$$

Atunci

$$\int_1^2 \frac1x f(x^2)\,dx =\int_1^2 xe^{x^2}\,dx+\int_1^2 x\,dx.$$

Pentru prima integrală folosim substituția $t=x^2$, $dt=2x\,dx$:

$$\int_1^2 xe^{x^2}\,dx =\frac12\int_1^4 e^t\,dt =\frac12(e^4-e).$$

De asemenea,

$$\int_1^2 x\,dx=\left.\frac{x^2}{2}\right|_1^2=\frac{4-1}{2}=\frac32.$$

Rezultă

$$\int_1^2 \frac1x f(x^2)\,dx =\frac{e^4-e}{2}+\frac32 =\frac{e^4-e+3}{2}.$$

• c) O primitivă a funcției $f(x)=xe^x+x$ este

$$F(x)=(x-1)e^x+\frac{x^2}{2}+C.$$

Condiția $F(1)=0$ dă

$$F(1)=0+\frac12+C=0 \implies C=-\frac12.$$

Deci

$$F(x)=(x-1)e^x+\frac{x^2-1}{2}.$$

Calculăm:

$$\int_0^1 F(x)\,dx =\int_0^1 (x-1)e^x\,dx+\frac12\int_0^1(x^2-1)\,dx.$$

Pentru prima integrală, o primitivă este $(x-2)e^x$, deoarece

$$\left((x-2)e^x\right)'=(x-1)e^x.$$

Astfel,

$$\int_0^1 (x-1)e^x\,dx =\left.(x-2)e^x\right|_0^1 =-e+2.$$

Pentru a doua integrală:

$$\frac12\int_0^1(x^2-1)\,dx =\frac12\left(\frac13-1\right) =-\frac13.$$

Prin urmare

$$\int_0^1 F(x)\,dx =2-e-\frac13 =\frac53-e =\frac{5-3e}{3}.$$

Autoevaluare pentru punctaj maxim

• Toate cele 18 subpuncte au fost rezolvate în ordinea din subiect.
• Au fost verificate condițiile de domeniu relevante: radicalul din Subiectul al III-lea este pozitiv, iar numitorul legii de compoziție este strict pozitiv.
• Calculele de algebră, matrice, probabilitate, limite, derivate și integrale au fost dezvoltate explicit.
• Itemii de tip „Arătați” și „Demonstrați” conțin justificări complete, nu doar rezultatul final.
• Rezultatele finale au fost simplificate și comparate cu cerințele fiecărui subpunct.