Soluții BAC Mate șt. naturii 2022 · August–Septembrie

SUBIECTUL I

1. Avem $a=20-\sqrt{21}$ și $b=22+\sqrt{21}$. Media aritmetică este

$$\frac{a+b}{2}=\frac{20-\sqrt{21}+22+\sqrt{21}}{2}=\frac{42}{2}=21.$$

Deci media aritmetică a numerelor date este $21$.

2. Pentru orice $a\in\mathbb{R}$,

$$f(a)=a-1,\qquad g(a)=3-a.$$

Prin urmare,

$$f(a)+g(a)=a-1+3-a=2.$$

Egalitatea este adevărată pentru orice număr real $a$.

3. Ecuația este

$$\sqrt{7x-6}=x.$$

Condițiile sunt $7x-6\ge0$ și, deoarece radicalul este nenegativ, $x\ge0$. Este suficient să reținem $x\ge \frac67$.

Pentru $x\ge \frac67$, putem ridica la pătrat:

$$7x-6=x^2.$$

O aducem la forma standard:

$$x^2-7x+6=0.$$

Factorizăm:

$$x^2-7x+6=(x-1)(x-6).$$

Rezultă

$$(x-1)(x-6)=0,$$

deci

$$x=1 \quad \text{sau} \quad x=6.$$

Ambele valori verifică domeniul și ecuația inițială:

$$\sqrt{7\cdot1-6}=1,\qquad \sqrt{7\cdot6-6}=6.$$

Soluțiile reale sunt $\boxed{x\in\{1,6\}}$.

4. Numărul este par, deci cifra unităților trebuie să fie pară. Din mulțimea $\{1,2,3,4\}$, cifra unităților poate fi $2$ sau $4$, deci sunt $2$ alegeri.

Cifra zecilor poate fi oricare dintre cele $4$ cifre ale mulțimii $\{1,2,3,4\}$. Nu se impune ca cifrele să fie distincte.

Prin regula produsului, se pot forma

$$2\cdot 4=8$$

numere naturale pare de două cifre.

5. Punctele sunt $O(0,0)$, $A(6,0)$, $B(6,6)$. Punctul $M$, mijlocul segmentului $OB$, are coordonatele

$$M\left(\frac{0+6}{2},\frac{0+6}{2}\right)=(3,3).$$

Calculăm lungimile:

$$OM=\sqrt{(3-0)^2+(3-0)^2}=\sqrt{18}=3\sqrt2,$$ $$AM=\sqrt{(3-6)^2+(3-0)^2}=\sqrt{9+9}=3\sqrt2.$$

Deoarece $OM=AM$, triunghiul $AOM$ este isoscel.

6. Triunghiul $ABC$ este dreptunghic în $A$, iar $\angle B=60^\circ$. Atunci

$$\angle C=180^\circ-90^\circ-60^\circ=30^\circ.$$

Fie $D$ piciorul înălțimii din $A$ pe $BC$, deci $AD\perp BC$. În triunghiul dreptunghic $ACD$, unghiul de la $C$ este $30^\circ$, iar $AC=4$ este ipotenuza. Cateta opusă unghiului de $30^\circ$ este jumătate din ipotenuză, deci

$$AD=\frac{AC}{2}=\frac{4}{2}=2.$$

Înălțimea din vârful $A$ are lungimea $2$.

SUBIECTUL al II-lea

1. Se consideră

$$I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix},\qquad A(x)=\begin{pmatrix}1&-x\\ x&x+1\end{pmatrix},\quad x\in\mathbb{R}.$$

• a) Pentru $x=1$,

$$A(1)=\begin{pmatrix}1&-1\\1&2\end{pmatrix}.$$

Atunci

$$\det(A(1))= \begin{vmatrix}1&-1\\1&2\end{vmatrix} =1\cdot 2-(-1)\cdot 1=2+1=3.$$

Deci $\det(A(1))=3$.

• b) Calculăm

$$A(-1)=\begin{pmatrix}1&1\\-1&0\end{pmatrix},\qquad A(2)=\begin{pmatrix}1&-2\\2&3\end{pmatrix}.$$

Produsul este

$$A(-1)A(2)= \begin{pmatrix}1&1\\-1&0\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1&-2\\2&3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3&1\\ -1&2 \end{pmatrix}.$$

Prin urmare,

$$A(-1)A(2)-A(-1)= \begin{pmatrix}3&1\\-1&2\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}1&1\\-1&0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2&0\\0&2\end{pmatrix} =2I_2.$$

• c) Pentru $x\in\mathbb{R}$,

$$A(-x)=\begin{pmatrix}1&x\\-x&1-x\end{pmatrix}.$$

Calculăm

$$A(x)A(-x)= \begin{pmatrix}1&-x\\x&x+1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1&x\\-x&1-x\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1+x^2&x^2\\ -x^2&1 \end{pmatrix}.$$

De asemenea,

$$xA(x)= \begin{pmatrix} x&-x^2\\ x^2&x^2+x \end{pmatrix}.$$

Astfel,

$$A(x)A(-x)+xA(x)= \begin{pmatrix} x^2+x+1&0\\ 0&x^2+x+1 \end{pmatrix} =(x^2+x+1)I_2.$$

Condiția din enunț devine

$$(x^2+x+1)I_2=3I_2,$$

deci

$$x^2+x+1=3 \iff x^2+x-2=0.$$

Factorizăm:

$$x^2+x-2=(x+2)(x-1),$$

de unde

$$x=-2 \quad \text{sau} \quad x=1.$$

Numerele reale cerute sunt $\boxed{x\in\{-2,1\}}$.

2. Pe $\mathbb{R}$ este definită legea

$$x\circ y=4(xy+1)-3(x+y).$$

• a) Calculăm direct:

$$1\circ 2=4(1\cdot2+1)-3(1+2)=4\cdot3-3\cdot3=12-9=3.$$

Deci $1\circ2=3$.

• b) Avem

$$a\circ3=4(3a+1)-3(a+3)=12a+4-3a-9=9a-5.$$

Din ipoteza $a\circ3=4$ rezultă

$$9a-5=4 \iff 9a=9 \iff a=1.$$

Atunci

$$a\circ(-a)=1\circ(-1)=4(1\cdot(-1)+1)-3(1+(-1)).$$

Prin urmare,

$$1\circ(-1)=4(0)-3(0)=0.$$

Deci, dacă $a\circ3=4$, atunci $a\circ(-a)=0$.

• c) Calculăm mai întâi

$$x\circ1=4(x+1)-3(x+1)=x+1.$$

Atunci

$$(x\circ1)\circ(x-1)=(x+1)\circ(x-1).$$

Aplicăm definiția:

$$(x+1)\circ(x-1)=4\big((x+1)(x-1)+1\big)-3\big((x+1)+(x-1)\big).$$

Cum

$$(x+1)(x-1)=x^2-1,\qquad (x+1)+(x-1)=2x,$$

obținem

$$(x\circ1)\circ(x-1)=4x^2-6x.$$

Inegalitatea cerută este

$$4x^2-6x\le 4.$$

Echivalent,

$$2x^2-3x-2\le0.$$

Factorizăm:

$$2x^2-3x-2=(2x+1)(x-2).$$

Deoarece parabola are coeficientul lui $x^2$ pozitiv, inegalitatea este satisfăcută între rădăcini:

$$\boxed{x\in\left[-\frac12,\,2\right]}.$$

SUBIECTUL al III-lea

1. Se consideră funcția

$$f:(0,+\infty)\to\mathbb{R},\qquad f(x)=2x^2+x+3-5\ln x.$$

• a) Pentru $x>0$, derivăm:

$$f'(x)=4x+1-\frac5x.$$

Scriem pe același numitor:

$$f'(x)=\frac{4x^2+x-5}{x}.$$

Factorizăm numărătorul:

$$4x^2+x-5=(x-1)(4x+5).$$

Rezultă

$$\boxed{f'(x)=\frac{(x-1)(4x+5)}{x}},\qquad x\in(0,+\infty).$$

• b) Observăm că

$$f(x)+5\ln x=2x^2+x+3.$$

Prin urmare,

$$\lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)+5\ln x}{3-x-x^2} =\lim_{x\to+\infty}\frac{2x^2+x+3}{3-x-x^2}.$$

Împărțim numărătorul și numitorul la $x^2$:

$$\lim_{x\to+\infty} \frac{2+\frac1x+\frac3{x^2}}{\frac3{x^2}-\frac1x-1} =\frac{2}{-1}=-2.$$

Deci limita este $\boxed{-2}$.

• c) Pe domeniul $(0,+\infty)$, avem $x>0$ și $4x+5>0$. Din formula derivatei,

$$f'(x)=\frac{(x-1)(4x+5)}{x},$$

semnul lui $f'(x)$ este semnul lui $x-1$. Astfel,

$$f'(x)<0 \text{ pe } (0,1),\qquad f'(x)>0 \text{ pe } (1,+\infty).$$

Funcția este descrescătoare pe $(0,1]$ și crescătoare pe $[1,+\infty)$, deci are minim global în $x=1$.

Calculăm

$$f(1)=2\cdot1^2+1+3-5\ln1=2+1+3=6.$$

Rezultă că, pentru orice $x\in(0,+\infty)$,

$$f(x)\ge f(1)=6.$$

Adică

$$2x^2+x+3-5\ln x\ge6.$$

Prin transpunere,

$$\boxed{2x^2+x\ge 3+5\ln x},\qquad \forall x\in(0,+\infty).$$

2. Se consideră funcția

$$f:\mathbb{R}\to\mathbb{R},\qquad f(x)=(3-2x)e^x.$$

• a) Pentru orice $x\in\mathbb{R}$, deoarece $e^x\ne0$,

$$\frac{f(x)}{e^x}=3-2x.$$

Atunci

$$\int_0^1 \frac{f(x)}{e^x}\,dx =\int_0^1 (3-2x)\,dx =\left(3x-x^2\right)_0^1 =3-1=2.$$

• b) Calculăm

$$\int_0^2 f(x)\,dx=\int_0^2 (3-2x)e^x\,dx.$$

Observăm că

$$\left((5-2x)e^x\right)'=(-2)e^x+(5-2x)e^x=(3-2x)e^x.$$

Deci o primitivă este $(5-2x)e^x$. Astfel,

$$\int_0^2 (3-2x)e^x\,dx =\left((5-2x)e^x\right)_0^2 =(5-4)e^2-5 =e^2-5.$$

• c) Pentru $a\in(-\infty,1)$, pe intervalul $[a,1]$ avem $3-2x\ge1>0$, deci $f(x)\ne0$ și integrala este bine definită.

Cum

$$f^3(x)=(3-2x)^3e^{3x},$$

rezultă

$$\frac{e^{3x}}{f^3(x)}=\frac{1}{(3-2x)^3}.$$

Trebuie să rezolvăm

$$\int_a^1 \frac{dx}{(3-2x)^3}=\frac29.$$

O primitivă este

$$\int \frac{dx}{(3-2x)^3} =\frac{1}{4(3-2x)^2}+C,$$

deoarece

$$\left(\frac{1}{4(3-2x)^2}\right)'=\frac{1}{(3-2x)^3}.$$

Prin urmare,

$$\int_a^1 \frac{dx}{(3-2x)^3} =\left[\frac{1}{4(3-2x)^2}\right]_a^1 =\frac14-\frac{1}{4(3-2a)^2}.$$

Ecuația devine

$$\frac14-\frac{1}{4(3-2a)^2}=\frac29.$$

Înmulțim cu $4$:

$$1-\frac{1}{(3-2a)^2}=\frac89,$$

deci

$$\frac{1}{(3-2a)^2}=\frac19.$$

Astfel,

$$(3-2a)^2=9,$$

de unde

$$3-2a=3 \quad \text{sau} \quad 3-2a=-3.$$

Rezultă

$$a=0 \quad \text{sau} \quad a=3.$$

Cum $a\in(-\infty,1)$, singura valoare admisă este

$$\boxed{a=0}.$$

Autoevaluare pentru punctaj maxim

• Toate cele 6 itemuri de la SUBIECTUL I sunt rezolvate în ordine, cu calculele esențiale explicate.
• SUBIECTUL al II-lea include verificările matriciale complete, condiția de egalitate cu $3I_2$ și rezolvarea inegalității pentru legea de compoziție.
• SUBIECTUL al III-lea include domeniile relevante, derivarea, studiul semnului derivatei, limita și integralele cu primitive verificate.
• Rezultatele finale au fost simplificate și condițiile $x>0$, $x\in\mathbb{R}$, respectiv $a<1$, au fost folosite unde sunt necesare.