Soluții BAC Mate șt. naturii 2022 · Iunie–Iulie

SUBIECTUL I

1. Progresia aritmetică are rația

$$r=a_3-a_2=12-6=6.$$

Cum $a_2=a_1+r$, rezultă

$$a_1=a_2-r=6-6=0.$$

Răspuns: $\boxed{a_1=0}$.

2. Pentru $f(x)=x-5$, condiția devine

$$f(a)+f(2a)=2.$$

Calculăm:

$$(a-5)+(2a-5)=2 \iff 3a-10=2 \iff 3a=12 \iff a=4.$$

Răspuns: $\boxed{a=4}$.

3. Ecuația este

$$5^x\cdot \frac15=25.$$

Scriem în puteri ale lui $5$:

$$5^{x-1}=5^2.$$

Deoarece bazele sunt egale și $5>0, 5\neq 1$, rezultă

$$x-1=2 \iff x=3.$$

Răspuns: $\boxed{x=3}$.

4. Numerele naturale de două cifre sunt de la $10$ la $99$, deci sunt

$$99-10+1=90$$

cazuri posibile. Multiplii de $16$ cu două cifre sunt

$$16,32,48,64,80,96,$$

adică $6$ cazuri favorabile. Probabilitatea este

$$p=\frac{6}{90}=\frac{1}{15}.$$

Răspuns: $\boxed{\frac{1}{15}}$.

5. Fie $C(x_C,y_C)$. Punctul $A(3,2)$ este mijlocul segmentului $BC$, unde $B(1,4)$, deci

$$\left(\frac{1+x_C}{2},\frac{4+y_C}{2}\right)=(3,2).$$

Rezultă

$$\frac{1+x_C}{2}=3 \iff x_C=5,$$

și

$$\frac{4+y_C}{2}=2 \iff y_C=0.$$

Răspuns: $\boxed{C(5,0)}$.

6. Expresia este

$$E(x)=\sin x+\sin\frac{3x}{2}-\cos\frac{x}{2}.$$

Pentru $x=\frac{\pi}{3}$, avem

$$\sin\frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt3}{2},\qquad \sin\left(\frac{3}{2}\cdot\frac{\pi}{3}\right)=\sin\frac{\pi}{2}=1,$$

și

$$\cos\left(\frac{1}{2}\cdot\frac{\pi}{3}\right)=\cos\frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt3}{2}.$$

Prin urmare,

$$E\left(\frac{\pi}{3}\right)=\frac{\sqrt3}{2}+1-\frac{\sqrt3}{2}=1.$$

Deci $\boxed{E\left(\frac{\pi}{3}\right)=1}$.

SUBIECTUL al II-lea

1. Se consideră

$$A=\begin{pmatrix}1&-1\\-1&1\end{pmatrix},\qquad I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix},\qquad B(x)=\begin{pmatrix}x&3-x\\2-x&x\end{pmatrix}.$$

• a) Calculăm determinantul:

$$\det A= \begin{vmatrix} 1&-1\\ -1&1 \end{vmatrix} =1\cdot 1-(-1)\cdot(-1)=1-1=0.$$

Deci $\boxed{\det A=0}$.

• b) Avem

$$B(0)=\begin{pmatrix}0&3\\2&0\end{pmatrix}.$$

Atunci

$$B(x)-B(0) = \begin{pmatrix}x&3-x\\2-x&x\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}0&3\\2&0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}x&-x\\-x&x\end{pmatrix}.$$

Pe de altă parte,

$$xA=x\begin{pmatrix}1&-1\\-1&1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}x&-x\\-x&x\end{pmatrix}.$$

Prin urmare,

$$\boxed{B(x)-B(0)=xA,\quad \forall x\in\mathbb R}.$$

• c) Calculăm mai întâi

$$B(1)=\begin{pmatrix}1&2\\1&1\end{pmatrix}.$$

Pentru $a\in\mathbb Z$,

$$B(a)B(1)= \begin{pmatrix}a&3-a\\2-a&a\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1&2\\1&1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3&a+3\\ 2&4-a \end{pmatrix}.$$

De asemenea,

$$B(a+1)= \begin{pmatrix} a+1&2-a\\ 1-a&a+1 \end{pmatrix}.$$

Astfel,

$$C(a)=B(a)B(1)-B(a+1) = \begin{pmatrix} 2-a&2a+1\\ a+1&3-2a \end{pmatrix}.$$

Determinantul este

$$\det C(a)=(2-a)(3-2a)-(2a+1)(a+1).$$

Dezvoltăm:

$$(2-a)(3-2a)=6-7a+2a^2,$$ $$(2a+1)(a+1)=2a^2+3a+1.$$

Prin urmare,

$$\det C(a)=6-7a+2a^2-(2a^2+3a+1)=5-10a=5(1-2a).$$

Dacă $\det C(a)=0$, atunci

$$5(1-2a)=0 \iff a=\frac12,$$

dar $\frac12\notin\mathbb Z$. Deci, pentru orice $a\in\mathbb Z$,

$$\det C(a)\neq 0,$$

adică matricea $C(a)$ este inversabilă.

2. Pe $\mathbb R$ este definită legea

$$x*y=(2x-1)(2y-1)+1.$$

• a) Calculăm:

$$1*2=(2\cdot 1-1)(2\cdot 2-1)+1=(1)(3)+1=4.$$

Deci $\boxed{1*2=4}$.

• b) Condiția este

$$x*x=2.$$

Avem

$$x*x=(2x-1)^2+1.$$

Astfel,

$$(2x-1)^2+1=2 \iff (2x-1)^2=1.$$

Rezultă

$$2x-1=1 \quad \text{sau} \quad 2x-1=-1.$$

De aici:

$$x=1 \quad \text{sau} \quad x=0.$$

Răspuns: $\boxed{x\in\{0,1\}}$.

• c) Căutăm numărul întreg nenul $m$ pentru care

$$m*\left(1+\frac1m\right)=1.$$

Condiția $m\neq 0$ este necesară pentru ca $\frac1m$ să fie definit. Calculăm:

$$m*\left(1+\frac1m\right) = (2m-1)\left(2\left(1+\frac1m\right)-1\right)+1.$$

Cum

$$2\left(1+\frac1m\right)-1=1+\frac2m=\frac{m+2}{m},$$

obținem

$$(2m-1)\frac{m+2}{m}+1=1.$$

Prin urmare,

$$(2m-1)\frac{m+2}{m}=0.$$

Deoarece $m\neq 0$, rezultă

$$(2m-1)(m+2)=0.$$

Deci

$$m=\frac12 \quad \text{sau} \quad m=-2.$$

Cum $m$ trebuie să fie întreg nenul, singura soluție este

$$\boxed{m=-2}.$$

SUBIECTUL al III-lea

1. Se consideră funcția

$$f:(0,+\infty)\to\mathbb R,\qquad f(x)=2x^2+1+\ln x.$$

• a) Pentru $x\in(0,+\infty)$, funcția este derivabilă și

$$f'(x)=(2x^2)' + 1' +(\ln x)'=4x+0+\frac1x.$$

Scriem cu același numitor:

$$f'(x)=4x+\frac1x=\frac{4x^2+1}{x}.$$

Deci

$$\boxed{f'(x)=\frac{4x^2+1}{x},\quad x\in(0,+\infty)}.$$

• b) Calculăm:

$$f(x)-\ln x=2x^2+1+\ln x-\ln x=2x^2+1.$$

Prin urmare,

$$\lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)-\ln x}{x^2+x+4} = \lim_{x\to+\infty}\frac{2x^2+1}{x^2+x+4}.$$

Împărțim numărătorul și numitorul la $x^2$:

$$\lim_{x\to+\infty} \frac{2+\frac{1}{x^2}}{1+\frac1x+\frac4{x^2}} =\frac{2+0}{1+0+0}=2.$$

Deci

$$\boxed{\lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)-\ln x}{x^2+x+4}=2}.$$

• c) Funcția $f$ este continuă pe $(0,+\infty)$, fiind sumă de funcții continue pe acest interval.

Din punctul a),

$$f'(x)=\frac{4x^2+1}{x}.$$

Pentru orice $x\in(0,+\infty)$, avem $x>0$ și $4x^2+1>0$, deci

$$f'(x)>0.$$

Rezultă că $f$ este strict crescătoare pe $(0,+\infty)$, deci este injectivă.

Pentru surjectivitate pe $\mathbb R$, calculăm limitele la capetele domeniului:

$$\lim_{x\to 0^+}f(x)=\lim_{x\to 0^+}(2x^2+1+\ln x)=-\infty,$$

deoarece $2x^2\to 0$ și $\ln x\to-\infty$. De asemenea,

$$\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty,$$

deoarece $2x^2\to+\infty$ și $\ln x\to+\infty$.

Fiind continuă și strict crescătoare, iar limitele la capetele intervalului sunt $-\infty$, respectiv $+\infty$, imaginea funcției este $\mathbb R$. Deci $f$ este surjectivă.

Prin urmare, $f$ este injectivă și surjectivă, deci

$$\boxed{f \text{ este bijectivă}}.$$

2. Se consideră funcția

$$f:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad f(x)=x(e^x+2x^2).$$

• a) Pentru orice $x\in\mathbb R$,

$$\frac{f(x)}{e^x+2x^2} = \frac{x(e^x+2x^2)}{e^x+2x^2}=x.$$

Observăm că $e^x+2x^2>0$, deci raportul este bine definit. Atunci

$$\int_0^4 \frac{f(x)}{e^x+2x^2}\,dx = \int_0^4 x\,dx = \left.\frac{x^2}{2}\right|_0^4 =\frac{16}{2}-0=8.$$

Deci

$$\boxed{\int_0^4 \frac{f(x)}{e^x+2x^2}\,dx=8}.$$

• b) Avem

$$f(x)-2x^3=x(e^x+2x^2)-2x^3=xe^x.$$

Prin urmare,

$$\int_0^1\bigl(f(x)-2x^3\bigr)\,dx = \int_0^1 xe^x\,dx.$$

Calculăm prin părți, cu $u=x$, $dv=e^x\,dx$, deci $du=dx$, $v=e^x$:

$$\int xe^x\,dx=xe^x-\int e^x\,dx=xe^x-e^x=(x-1)e^x.$$

Astfel,

$$\int_0^1 xe^x\,dx = \left.(x-1)e^x\right|_0^1 =0\cdot e-(-1)\cdot 1=1.$$

Deci

$$\boxed{\int_0^1\bigl(f(x)-2x^3\bigr)\,dx=1}.$$

• c) Determinăm $a\in\mathbb R$ din condiția

$$\int_1^2 x\cdot\frac{f(x^2)}{x^2}\,dx=\frac{e^4-e}{2}+a.$$

Pentru $x\in[1,2]$, avem $x^2\neq 0$, deci expresia este bine definită. Calculăm:

$$f(x^2)=x^2\left(e^{x^2}+2(x^2)^2\right) =x^2(e^{x^2}+2x^4).$$

Atunci

$$x\cdot\frac{f(x^2)}{x^2} = x\cdot\frac{x^2(e^{x^2}+2x^4)}{x^2} =x(e^{x^2}+2x^4) =xe^{x^2}+2x^5.$$

Deci

$$\int_1^2 x\cdot\frac{f(x^2)}{x^2}\,dx = \int_1^2 xe^{x^2}\,dx+\int_1^2 2x^5\,dx.$$

Pentru prima integrală, folosim substituția $t=x^2$, $dt=2x\,dx$:

$$\int_1^2 xe^{x^2}\,dx = \frac12\int_1^4 e^t\,dt = \frac12\left(e^4-e\right) =\frac{e^4-e}{2}.$$

Pentru a doua integrală:

$$\int_1^2 2x^5\,dx = \left.\frac{x^6}{3}\right|_1^2 = \frac{64-1}{3}=21.$$

Prin urmare,

$$\int_1^2 x\cdot\frac{f(x^2)}{x^2}\,dx = \frac{e^4-e}{2}+21.$$

Comparând cu

$$\frac{e^4-e}{2}+a,$$

obținem

$$\boxed{a=21}.$$

Autoevaluare pentru punctaj maxim

• Am rezolvat toate cele 18 subpuncte, în ordinea din subiect.
• Am verificat condițiile de domeniu relevante: $x>0$ pentru $\ln x$, $m\neq 0$, numitorii din rapoartele cu $f$.
• Am inclus calculele esențiale pentru fiecare subpunct de 5 puncte.
• Am justificat complet afirmațiile de tip „Arătați” și „Demonstrați”.
• Am verificat rezultatele finale cu baremul: $a_1=0$, $a=4$, $x=3$, $p=\frac1{15}$, $C(5,0)$, $m=-2$, bijectivitatea funcției și $a=21$.