Soluții BAC Mate șt. naturii 2024 · Sesiunea specială

SUBIECTUL I

1. Calculăm:

$$6-2\sqrt5+\sqrt5(2-\sqrt5) =6-2\sqrt5+2\sqrt5-5=1.$$

Prin urmare, egalitatea este adevărată.

2. Avem

$$f(1)=2\cdot 1-3=-1,\qquad f(a)=2a-3.$$

Condiția devine

$$f(a)+f(1)=0 \iff 2a-3-1=0 \iff 2a-4=0,$$

de unde

$$a=2.$$

3. Folosind regulile puterilor,

$$10^{-2x}\cdot 10^2=10^{2-2x}.$$

Ecuația devine

$$10^{x-1}=10^{2-2x}.$$

Cum baza este aceeași și $10>0,\ 10\ne 1$, egalăm exponenții:

$$x-1=2-2x \iff 3x=3 \iff x=1.$$

Soluția este $x=1$.

4. Cifrele pare din mulțimea

$$A=\{1,2,3,4,5,6\}$$

sunt $2,4,6$, deci avem 3 cifre pare disponibile. Numărul trebuie să aibă două cifre distincte, ambele pare.

Pentru cifra zecilor avem 3 alegeri, iar pentru cifra unităților rămân 2 alegeri. Rezultă

$$3\cdot 2=6$$

numere.

5. Originea este $O(0,0)$, iar $A(4,6)$. Mijlocul segmentului $OA$ este

$$M\left(\frac{0+4}{2},\frac{0+6}{2}\right)=M(2,3).$$

Cu $B(6,0)$, distanța $BM$ este

$$BM=\sqrt{(6-2)^2+(0-3)^2} =\sqrt{16+9} =5.$$

6. Triunghiul $ABC$ este dreptunghic în $A$, deci catetele sunt $AB$ și $AC$. Aria este

$$\mathcal A=\frac{AB\cdot AC}{2}.$$

Știm că $AC=6$ și $\mathcal A=24$, deci

$$24=\frac{AB\cdot 6}{2}=3AB.$$

Prin urmare,

$$AB=8.$$

SUBIECTUL al II-lea

1. Se consideră

$$A=\begin{pmatrix}1&1\\1&2\end{pmatrix},\qquad B(x)=\begin{pmatrix}x+1&x+4\\2x&4x-3\end{pmatrix}.$$

a) Determinantul matricei $A$ este

$$\det A= \begin{vmatrix} 1&1\\ 1&2 \end{vmatrix} =1\cdot 2-1\cdot 1=1.$$

b) Calculăm

$$xA=\begin{pmatrix}x&x\\x&2x\end{pmatrix},$$

deci

$$B(x)-xA= \begin{pmatrix} x+1-x&x+4-x\\ 2x-x&4x-3-2x \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1&4\\ x&2x-3 \end{pmatrix}.$$

Atunci

$$\det(B(x)-xA)=1(2x-3)-4x=-2x-3.$$

Impunem condiția din enunț:

$$-2x-3=x \iff -3x=3 \iff x=-1.$$

c) Mai întâi calculăm

$$A^2= \begin{pmatrix}1&1\\1&2\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1&1\\1&2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2&3\\3&5\end{pmatrix},$$

iar

$$A^3=A^2A= \begin{pmatrix}2&3\\3&5\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1&1\\1&2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}5&8\\8&13\end{pmatrix}.$$

Prin urmare,

$$2A\cdot A\cdot A=2A^3= \begin{pmatrix}10&16\\16&26\end{pmatrix}.$$

De asemenea,

$$B(x+2)= \begin{pmatrix} x+3&x+6\\ 2x+4&4x+5 \end{pmatrix}.$$

Rezultă

$$B(x)+B(x+2)= \begin{pmatrix} 2x+4&2x+10\\ 4x+4&8x+2 \end{pmatrix}.$$

Egalitatea matricilor devine

$$\begin{pmatrix} 2x+4&2x+10\\ 4x+4&8x+2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}10&16\\16&26\end{pmatrix}.$$

Din prima egalitate obținem

$$2x+4=10 \iff x=3.$$

Verificarea celorlalte elemente pentru $x=3$ dă

$$2x+10=16,\qquad 4x+4=16,\qquad 8x+2=26.$$

Deci soluția este $x=3$.

2. Se consideră polinomul

$$f=X^3+mX^2-2X-4,\qquad m\in\mathbb R.$$

a) Pentru $m=6$,

$$f(1)=1^3+6\cdot 1^2-2\cdot 1-4=1+6-2-4=1.$$

b) Notăm cu $x_1,x_2,x_3$ rădăcinile polinomului. Pentru polinomul monic

$$X^3+mX^2-2X-4$$

relațiile lui Viete dau

$$x_1+x_2+x_3=-m,\qquad x_1x_2x_3=-(-4)=4.$$

Condiția din enunț este

$$(x_1x_2x_3)^2=x_1+x_2+x_3+x_1x_2x_3.$$

Înlocuind,

$$4^2=-m+4 \iff 16=-m+4 \iff m=-12.$$

c) Restul împărțirii lui $f$ la $X-2$ este $f(2)$. Condiția este

$$f(2)=8.$$

Calculăm:

$$f(2)=2^3+m\cdot 2^2-2\cdot 2-4=8+4m-4-4=4m.$$

Astfel,

$$4m=8 \iff m=2.$$

Polinomul devine

$$f(X)=X^3+2X^2-2X-4.$$

Factorizăm prin grupare:

$$X^3+2X^2-2X-4=X^2(X+2)-2(X+2)=(X+2)(X^2-2).$$

Deci

$$(X+2)(X-\sqrt2)(X+\sqrt2)=0.$$

Rădăcinile sunt

$$\boxed{-2,\ -\sqrt2,\ \sqrt2}.$$

SUBIECTUL al III-lea

1. Se consideră funcția

$$f:(0,+\infty)\to\mathbb R,\qquad f(x)=\frac{3-x}{x^2}+\ln x.$$

a) Scriem

$$f(x)=\frac{3}{x^2}-\frac{1}{x}+\ln x.$$

Derivăm pe domeniul $(0,+\infty)$:

$$f'(x)=-\frac{6}{x^3}+\frac{1}{x^2}+\frac{1}{x}.$$

Aducem la același numitor:

$$f'(x)=\frac{-6+x+x^2}{x^3} =\frac{x^2+x-6}{x^3},\qquad x\in(0,+\infty).$$

b) Avem

$$f(x)-\ln x=\frac{3-x}{x^2}=\frac{3}{x^2}-\frac{1}{x}.$$

Prin urmare,

$$\lim_{x\to+\infty}(f(x)-\ln x) =\lim_{x\to+\infty}\left(\frac{3}{x^2}-\frac{1}{x}\right) =0-0=0.$$

c) Din punctul a),

$$f'(x)=\frac{x^2+x-6}{x^3} =\frac{(x+3)(x-2)}{x^3}.$$

Pentru $x>0$, avem $x^3>0$ și $x+3>0$, deci semnul lui $f'(x)$ este semnul lui $x-2$. Astfel, $f$ este descrescătoare pe $(0,2]$ și crescătoare pe $[2,+\infty)$, deci are minim în $x=2$.

Calculăm

$$f(2)=\frac{3-2}{2^2}+\ln 2=\frac14+\ln 2.$$

Rezultă, pentru orice $x\in(0,+\infty)$,

$$f(x)\ge f(2)=\frac14+\ln2.$$

Înmulțind cu 4 și scăzând 1, obținem

$$4f(x)-1\ge 4\left(\frac14+\ln2\right)-1=4\ln2.$$

Cum

$$4\ln2=\ln 2^4=\ln16,$$

rezultă

$$4f(x)-1\ge \ln16,\qquad \forall x\in(0,+\infty).$$

2. Se consideră funcția

$$f:(-3,+\infty)\to\mathbb R,\qquad f(x)=3x+\frac{1}{\sqrt{x+3}}.$$

a) Observăm că

$$f(x)-\frac{1}{\sqrt{x+3}}=3x.$$

Atunci

$$\int_2^4\left(f(x)-\frac{1}{\sqrt{x+3}}\right)\,dx =\int_2^4 3x\,dx =\left.\frac{3x^2}{2}\right|_2^4.$$

Prin urmare,

$$\left.\frac{3x^2}{2}\right|_2^4 =\frac{3}{2}(16-4) =18.$$

b) Avem

$$f(x)-3x=\frac{1}{\sqrt{x+3}}=(x+3)^{-1/2}.$$

Deci

$$\int_1^6 (f(x)-3x)\,dx =\int_1^6 (x+3)^{-1/2}\,dx =\left.2\sqrt{x+3}\right|_1^6.$$

Rezultă

$$2\sqrt{9}-2\sqrt{4}=2\cdot 3-2\cdot 2=2.$$

c) Pe intervalul $[-2,1]$, avem $x+3>0$, deci integrala este bine definită. Deoarece

$$f(x)-\frac{1}{\sqrt{x+3}}=3x,$$

integrala devine

$$\int_{-2}^1 \frac{1}{x+3}\left(f(x)-\frac{1}{\sqrt{x+3}}\right)\,dx =\int_{-2}^1 \frac{3x}{x+3}\,dx.$$

Scriem

$$\frac{3x}{x+3}=3\cdot\frac{x+3-3}{x+3} =3-\frac{9}{x+3}.$$

Atunci

$$\int_{-2}^1 \frac{3x}{x+3}\,dx =\left. \left(3x-9\ln(x+3)\right)\right|_{-2}^{1}.$$

Calculăm:

$$\left(3-9\ln4\right)-\left(-6-9\ln1\right) =3-9\ln4+6=9-9\ln4.$$

Cum $\ln4=2\ln2$, obținem

$$9-9\ln4=9-18\ln2=9(1-2\ln2).$$

Conform enunțului,

$$9(1-2\ln2)=9(a-2\ln2).$$

Împărțind la 9, rezultă

$$1-2\ln2=a-2\ln2,$$

deci

$$a=1.$$

Autoevaluare pentru punctaj maxim

• Toate cele 6 exerciții din SUBIECTUL I sunt rezolvate în ordine, cu calculele esențiale afișate.
• Toate subpunctele de la SUBIECTUL al II-lea sunt rezolvate complet: determinanți, ecuații matriciale, relațiile lui Viete și factorizarea polinomului.
• Toate subpunctele de la SUBIECTUL al III-lea sunt justificate riguros: derivare, limită, monotonia pentru inegalitate și integralele definite.
• Domeniile relevante au fost respectate: $x>0$ pentru logaritm și $x>-3$ pentru radical.
• Rezultatele finale au fost verificate prin înlocuire sau prin compatibilitatea condițiilor din enunț.