Soluții BAC Mate șt. naturii 2025 · August–Septembrie

SUBIECTUL I

1. Într-o progresie aritmetică,

$$a_3=a_1+2r.$$

Din $a_1=5$ și $a_3=35$ obținem

$$35=5+2r \Longleftrightarrow 2r=30 \Longleftrightarrow r=15.$$

Atunci

$$a_2=a_1+r=5+15=20.$$

Prin urmare, $\boxed{a_2=20}$.

2. Calculăm

$$f(0)=2\cdot 0+3=3,\qquad f(1)=2\cdot 1+3=5.$$

Condiția devine

$$f(m)=f(0)\cdot f(1)=3\cdot 5=15.$$

Cum $f(m)=2m+3$, avem

$$2m+3=15 \Longleftrightarrow 2m=12 \Longleftrightarrow m=6.$$

Deci $\boxed{m=6}$.

3. Ecuația este

$$\sqrt[3]{x^2-4}=\sqrt[3]{3x-6}.$$

Funcția $t\mapsto \sqrt[3]{t}$ este injectivă pe $\mathbb R$, deci ecuația este echivalentă cu

$$x^2-4=3x-6.$$

Rezultă

$$x^2-3x+2=0 \Longleftrightarrow (x-1)(x-2)=0.$$

Prin urmare,

$$x=1 \quad \text{sau} \quad x=2.$$

Ambele valori sunt admise, deoarece radicalul de ordin impar este definit pentru orice număr real. Soluția este

$$\boxed{x\in\{1,2\}}.$$

4. Numerele naturale de o cifră sunt

$$\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\},$$

deci sunt $10$ cazuri posibile.

Inegalitatea cerută este

$$3n^2<100 \Longleftrightarrow n^2<\frac{100}{3}.$$

Pentru $n\in\{0,1,\ldots,9\}$, valorile care verifică sunt

$$n\in\{0,1,2,3,4,5\},$$

deoarece $5^2=25<\frac{100}{3}$, iar $6^2=36>\frac{100}{3}$. Sunt $6$ cazuri favorabile, deci probabilitatea este

$$P=\frac{6}{10}=\frac35.$$

Răspuns: $\boxed{\frac35}$.

5. Notăm $C(x_C,y_C)$. Deoarece $B(2,5)$ este mijlocul segmentului $AC$, avem

$$B\left(\frac{x_A+x_C}{2},\frac{y_A+y_C}{2}\right).$$

Cu $A(0,2)$, rezultă

$$\left(\frac{0+x_C}{2},\frac{2+y_C}{2}\right)=(2,5).$$

Egalând coordonatele,

$$\frac{x_C}{2}=2 \Longleftrightarrow x_C=4,$$

și

$$\frac{2+y_C}{2}=5 \Longleftrightarrow 2+y_C=10 \Longleftrightarrow y_C=8.$$

Prin urmare,

$$\boxed{C(4,8)}.$$

6. Triunghiul $ABC$ este dreptunghic în $A$, iar $AB=AC$. Notăm

$$AB=AC=a,\qquad a>0.$$

Aria triunghiului dreptunghic este

$$\mathcal A=\frac{AB\cdot AC}{2}=\frac{a^2}{2}.$$

Din $\mathcal A=18$, obținem

$$\frac{a^2}{2}=18 \Longleftrightarrow a^2=36 \Longleftrightarrow a=6.$$

Prin teorema lui Pitagora,

$$BC^2=AB^2+AC^2=6^2+6^2=72.$$

Cum $BC>0$,

$$BC=\sqrt{72}=6\sqrt2.$$

Am arătat că $\boxed{BC=6\sqrt2}$.

SUBIECTUL al II-lea

1.

Se consideră

$$I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix},\qquad A(x)=\begin{pmatrix}1-x&3x\\-x&1+4x\end{pmatrix}.$$

a) Pentru $x=2$,

$$A(2)=\begin{pmatrix}-1&6\\-2&9\end{pmatrix}.$$

Determinantul este

$$\det(A(2))=(-1)\cdot 9-6\cdot(-2)=-9+12=3.$$

Deci $\boxed{\det(A(2))=3}$.

b) Pentru orice $x,y\in\mathbb R$,

$$A(y)=\begin{pmatrix}1-y&3y\\-y&1+4y\end{pmatrix},$$

deci

$$xA(y)= \begin{pmatrix} x-xy&3xy\\ -xy&x+4xy \end{pmatrix}.$$

De asemenea,

$$A(xy)= \begin{pmatrix} 1-xy&3xy\\ -xy&1+4xy \end{pmatrix}.$$

Prin scădere,

$$xA(y)-A(xy)= \begin{pmatrix} x-xy-(1-xy)&0\\ 0&x+4xy-(1+4xy) \end{pmatrix}.$$

Rezultă

$$xA(y)-A(xy)= \begin{pmatrix} x-1&0\\ 0&x-1 \end{pmatrix} =(x-1)I_2.$$

Egalitatea este demonstrată.

c) Calculăm

$$A(1)=\begin{pmatrix}0&3\\-1&5\end{pmatrix},$$

iar

$$A(x-1)= \begin{pmatrix} 2-x&3x-3\\ 1-x&4x-3 \end{pmatrix}.$$

Atunci

$$A(1)A(x-1)= \begin{pmatrix}0&3\\-1&5\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2-x&3x-3\\ 1-x&4x-3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3-3x&12x-9\\ 3-4x&17x-12 \end{pmatrix}.$$

Pe de altă parte,

$$xA(x)=x \begin{pmatrix} 1-x&3x\\ -x&1+4x \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x-x^2&3x^2\\ -x^2&x+4x^2 \end{pmatrix}.$$

Egalitatea matricelor impune, de exemplu din elementul $(1,1)$,

$$3-3x=x-x^2.$$

Aceasta este echivalentă cu

$$x^2-4x+3=0 \Longleftrightarrow (x-1)(x-3)=0.$$

Deci $x=1$ sau $x=3$. Pentru aceste valori, celelalte elemente dau aceeași ecuație:

$$12x-9=3x^2,\qquad 3-4x=-x^2,\qquad 17x-12=x+4x^2.$$

Prin urmare,

$$\boxed{x\in\{1,3\}}.$$

2.

Legea de compoziție este

$$x\circ y=\frac14(x+1)(y+1)-1,\qquad x,y\in\mathbb R.$$

a) Calculăm direct:

$$1\circ 5=\frac14(1+1)(5+1)-1 =\frac14\cdot 2\cdot 6-1 =3-1=2.$$

Deci $\boxed{1\circ 5=2}$.

b) Pentru orice $x\in\mathbb R$,

$$x\circ 3=\frac14(x+1)(3+1)-1 =x+1-1=x.$$

De asemenea,

$$3\circ x=\frac14(3+1)(x+1)-1 =x+1-1=x.$$

Așadar,

$$x\circ 3=3\circ x=x,\qquad \forall x\in\mathbb R.$$

Prin urmare, $\boxed{e=3}$ este elementul neutru al legii $\circ$.

c) Condiția $m\circ n=3$ devine

$$\frac14(m+1)(n+1)-1=3.$$

Rezultă

$$\frac14(m+1)(n+1)=4 \Longleftrightarrow (m+1)(n+1)=16.$$

Deoarece $m,n\in\mathbb N$ și $m\le n$, avem $m+1\le n+1$, iar factorii pozitivi ai lui $16$ se pot grupa astfel:

$$(m+1,n+1)\in\{(1,16),(2,8),(4,4)\}.$$

Prin urmare,

$$(m,n)\in\{(0,15),(1,7),(3,3)\}.$$

Verificarea se face direct prin $(m+1)(n+1)=16$, deci perechile cerute sunt

$$\boxed{(0,15),\ (1,7),\ (3,3)}.$$

SUBIECTUL al III-lea

1.

Se consideră

$$f:(0,+\infty)\to\mathbb R,\qquad f(x)=x^2-3x-1+\ln x.$$

Domeniul este $(0,+\infty)$, deoarece trebuie să avem $x>0$ pentru $\ln x$.

a) Derivăm pe domeniul funcției:

$$f'(x)=2x-3+\frac1x.$$

Aducem la același numitor:

$$f'(x)=\frac{2x^2-3x+1}{x}.$$

Numărătorul se factorizează:

$$2x^2-3x+1=(2x-1)(x-1).$$

Prin urmare,

$$\boxed{f'(x)=\frac{(2x-1)(x-1)}{x}},\qquad x\in(0,+\infty).$$

b) Avem

$$f(x)+3x=x^2-1+\ln x.$$

Pentru $x\ne 1$, limita devine

$$\frac{f(x)+3x}{\ln x} =\frac{x^2-1+\ln x}{\ln x} =\frac{x^2-1}{\ln x}+1.$$

Mai departe,

$$\frac{x^2-1}{\ln x} =(x+1)\cdot\frac{x-1}{\ln x}.$$

Folosim limita fundamentală

$$\lim_{x\to1}\frac{\ln x}{x-1}=1,$$

deci

$$\lim_{x\to1}\frac{x-1}{\ln x}=1.$$

Prin urmare,

$$\lim_{x\to1}\frac{f(x)+3x}{\ln x} =2\cdot 1+1=3.$$

Deci

$$\boxed{\lim_{x\to 1}\frac{f(x)+3x}{\ln x}=3}.$$

c) Din punctul a),

$$f'(x)=\frac{(2x-1)(x-1)}{x}.$$

Pe $(0,+\infty)$, numitorul $x$ este pozitiv, deci semnul lui $f'(x)$ este semnul produsului $(2x-1)(x-1)$.

Pe intervalul $(0,1]$, funcția este crescătoare pe $\left(0,\frac12\right]$ și descrescătoare pe $\left[\frac12,1\right]$. Astfel, maximul pe $(0,1]$ se obține în $x=\frac12$, iar

$$f(x)\le f\left(\frac12\right),\qquad x\in(0,1].$$

Calculăm

$$f\left(\frac12\right) =\frac14-\frac32-1+\ln\frac12 =-\frac94-\ln 2.$$

Pe intervalul $[1,2]$, avem $f'(x)\ge 0$, deci $f$ este crescătoare. Prin urmare,

$$f(y)\le f(2),\qquad y\in[1,2].$$

Calculăm

$$f(2)=4-6-1+\ln2=-3+\ln2.$$

Adunând cele două estimări,

$$f(x)+f(y) \le \left(-\frac94-\ln2\right)+(-3+\ln2) =-\frac94-\frac{12}{4} =-\frac{21}{4}.$$

Deci

$$\boxed{f(x)+f(y)\le -\frac{21}{4}},$$

pentru orice $x\in(0,1]$ și orice $y\in[1,2]$.

2.

Se consideră

$$f:(0,+\infty)\to\mathbb R,\qquad f(x)=\frac{x-1}{\sqrt{x}}.$$

Domeniul este $(0,+\infty)$, deoarece $\sqrt{x}$ apare la numitor.

a) Pentru $x\in[2,4]$,

$$f(x)\sqrt{x}=\frac{x-1}{\sqrt{x}}\cdot \sqrt{x}=x-1.$$

Atunci

$$\int_2^4 f(x)\sqrt{x}\,dx =\int_2^4 (x-1)\,dx =\left(\frac{x^2}{2}-x\right)\Bigg|_2^4.$$

Calculăm:

$$\left(\frac{16}{2}-4\right)-\left(\frac42-2\right) =(8-4)-(2-2)=4.$$

Prin urmare,

$$\boxed{\int_2^4 f(x)\sqrt{x}\,dx=4}.$$

b) Scriem

$$f(x)=\frac{x-1}{\sqrt{x}}=\sqrt{x}-\frac1{\sqrt{x}}.$$

Astfel,

$$\int_1^4 f(x)\,dx =\int_1^4 \left(x^{1/2}-x^{-1/2}\right)\,dx.$$

O primitivă este

$$\frac23x^{3/2}-2x^{1/2}.$$

Deci

$$\int_1^4 f(x)\,dx =\left(\frac23x^{3/2}-2\sqrt{x}\right)\Bigg|_1^4.$$

Calculăm:

$$\left(\frac23\cdot 8-2\cdot 2\right) - \left(\frac23\cdot 1-2\cdot 1\right) = \left(\frac{16}{3}-4\right) - \left(\frac23-2\right).$$

Rezultă

$$\frac43-\left(-\frac43\right)=\frac83.$$

Prin urmare,

$$\boxed{\int_1^4 f(x)\,dx=\frac83}.$$

c) Pe intervalul $[2,3]$, avem $x>1$, deci

$$f(x)=\frac{x-1}{\sqrt{x}}>0,$$

iar funcția

$$g(x)=\frac{\sqrt2}{f(x)}$$

este bine definită.

Volumul corpului obținut prin rotația graficului lui $g$ în jurul axei $Ox$ este

$$V=\pi\int_2^3 (g(x))^2\,dx.$$

Cum

$$g(x)=\frac{\sqrt2}{\frac{x-1}{\sqrt{x}}} =\frac{\sqrt{2x}}{x-1},$$

rezultă

$$(g(x))^2=\frac{2x}{(x-1)^2}.$$

Atunci

$$V=\pi\int_2^3 \frac{2x}{(x-1)^2}\,dx.$$

Scriem

$$\frac{2x}{(x-1)^2} =\frac{2(x-1+1)}{(x-1)^2} =\frac{2}{x-1}+\frac{2}{(x-1)^2}.$$

Prin urmare,

$$\int \frac{2x}{(x-1)^2}\,dx =2\ln(x-1)-\frac{2}{x-1},$$

pe intervalul $[2,3]$, unde $x-1>0$. Calculăm:

$$\int_2^3 \frac{2x}{(x-1)^2}\,dx =\left(2\ln(x-1)-\frac{2}{x-1}\right)\Bigg|_2^3.$$

Astfel,

$$\left(2\ln2-\frac22\right)-\left(2\ln1-\frac21\right) =2\ln2-1-(0-2) =2\ln2+1.$$

Deoarece

$$2\ln2+1=\ln4+\ln e=\ln(4e),$$

obținem

$$V=\pi\ln(4e).$$

Am arătat că $\boxed{V=\pi\ln(4e)}$.

Autoevaluare pentru punctaj maxim

• Toate cele 18 subpuncte au fost rezolvate în ordinea enunțului.
• Notațiile pierdute în textul extras au fost verificate pe PDF: radicalii cubici de la I.3 includ expresiile $x^2-4$, respectiv $3x-6$, iar la III.2 funcția este $f(x)=\frac{x-1}{\sqrt{x}}$.
• Au fost precizate condițiile de domeniu pentru logaritm, radical cu numitor și funcția folosită la volumul de rotație.
• Calculele pentru determinant, matrice, lege de compoziție, probabilitate, derivată, monotonie, limită și integrale sunt dezvoltate explicit.
• Demonstrațiile de tip „Arătați” și „Demonstrați” includ justificarea rezultatului final, nu doar calcul numeric.
• Rezultatele finale sunt simplificate și evidențiate.