Soluții BAC Mate șt. naturii 2025 · Sesiunea specială

SUBIECTUL I

1. Calculăm membrul stâng:

$$2\cdot(1,1+0,3)-1,8 =2\cdot 1,4-1,8 =2,8-1,8 =1.$$

Prin urmare,

$$\boxed{2\cdot(1,1+0,3)-1,8=1}.$$

2. Funcția este

$$f:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad f(x)=2x+4.$$

Calculăm

$$f(0)=2\cdot0+4=4.$$

Condiția din enunț devine

$$f(a)=a\cdot f(0) \Longleftrightarrow 2a+4=4a.$$

Rezultă

$$4=2a \Longleftrightarrow a=2.$$

Deci $\boxed{a=2}$.

3. Ecuația este

$$\sqrt{2-x}=\sqrt{x^2+x-1}.$$

Condițiile de existență sunt

$$2-x\ge 0,\qquad x^2+x-1\ge 0.$$

Ridicarea la pătrat este permisă, deoarece ambii membri sunt radicali aritmetici, deci sunt nenegativi. Obținem

$$2-x=x^2+x-1.$$

Trecem toți termenii în același membru:

$$x^2+2x-3=0.$$

Factorizăm:

$$x^2+2x-3=(x+3)(x-1).$$

Deci

$$(x+3)(x-1)=0 \Longleftrightarrow x=-3 \quad \text{sau} \quad x=1.$$

Verificăm în ecuația inițială:

$$x=-3:\quad \sqrt{2-(-3)}=\sqrt5,\qquad \sqrt{(-3)^2+(-3)-1}=\sqrt5,$$ $$x=1:\quad \sqrt{2-1}=1,\qquad \sqrt{1^2+1-1}=1.$$

Ambele soluții sunt admise, așadar

$$\boxed{x\in\{-3,1\}}.$$

4. Numerele naturale de o cifră sunt

$$\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\},$$

deci sunt $10$ cazuri posibile.

Inegalitatea cerută este

$$n^3>10.$$

Pentru numere naturale de o cifră,

$$0^3=0,\quad 1^3=1,\quad 2^3=8,\quad 3^3=27>10.$$

Prin urmare, valorile favorabile sunt

$$n\in\{3,4,5,6,7,8,9\},$$

adică $7$ cazuri favorabile. Probabilitatea este

$$P=\frac{7}{10}.$$

Răspuns:

$$\boxed{\frac{7}{10}}.$$

5. Notăm cu $M$ mijlocul segmentului $BC$. Avem

$$B(2,0),\qquad C(8,2),$$

deci

$$M\left(\frac{2+8}{2},\frac{0+2}{2}\right)=M(5,1).$$

Cu $A(1,4)$, distanța $AM$ este

$$AM=\sqrt{(5-1)^2+(1-4)^2} =\sqrt{4^2+(-3)^2} =\sqrt{16+9} =5.$$

Prin urmare, distanța cerută este

$$\boxed{5}.$$

6. Triunghiul $ABC$ este dreptunghic în $A$, deci $BC$ este ipotenuza. Pentru unghiul $B$,

$$\sin B=\frac{\text{cateta opusă unghiului }B}{\text{ipotenuză}} =\frac{AC}{BC}.$$

Din enunț,

$$BC=10,\qquad \sin B=\frac25.$$

Astfel,

$$\frac{AC}{10}=\frac25.$$

Rezultă

$$5AC=20 \Longleftrightarrow AC=4.$$

Am arătat că

$$\boxed{AC=4}.$$

SUBIECTUL al II-lea

1.

Se consideră

$$I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}, \qquad A(x)=\begin{pmatrix}2+2x&x\\-x&2-2x\end{pmatrix}.$$

a) Pentru $x=1$,

$$A(1)=\begin{pmatrix}4&1\\-1&0\end{pmatrix}.$$

Determinantul este

$$\det(A(1))=4\cdot0-1\cdot(-1)=1.$$

Prin urmare,

$$\boxed{\det(A(1))=1}.$$

b) Calculăm mai întâi matricele necesare:

$$A(2)=\begin{pmatrix}6&2\\-2&-2\end{pmatrix}, \qquad A(1)=\begin{pmatrix}4&1\\-1&0\end{pmatrix}, \qquad A(-2)=\begin{pmatrix}-2&-2\\2&6\end{pmatrix}.$$

Produsul este

$$A(2)A(1) = \begin{pmatrix}6&2\\-2&-2\end{pmatrix} \begin{pmatrix}4&1\\-1&0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 24-2&6+0\\ -8+2&-2+0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}22&6\\-6&-2\end{pmatrix}.$$

De asemenea,

$$3A(-2) =3\begin{pmatrix}-2&-2\\2&6\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-6&-6\\6&18\end{pmatrix}.$$

Adunând, obținem

$$A(2)A(1)+3A(-2) = \begin{pmatrix}22&6\\-6&-2\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}-6&-6\\6&18\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}16&0\\0&16\end{pmatrix} =16I_2.$$

Egalitatea cerută este demonstrată.

c) Trebuie ca

$$B(m)=\frac1m A(-m)$$

să fie inversa matricei $A(m)$, unde $m\in\mathbb Z^*$. Calculăm produsul general:

$$A(x)A(-x) = \begin{pmatrix}2+2x&x\\-x&2-2x\end{pmatrix} \begin{pmatrix}2-2x&-x\\x&2+2x\end{pmatrix}.$$

Rezultă

$$A(x)A(-x) = \begin{pmatrix} (2+2x)(2-2x)+x^2&-(2+2x)x+x(2+2x)\\ -x(2-2x)+(2-2x)x&x^2+(2-2x)(2+2x) \end{pmatrix}.$$

Prin simplificare,

$$A(x)A(-x) = \begin{pmatrix} 4-4x^2+x^2&0\\ 0&x^2+4-4x^2 \end{pmatrix} = (4-3x^2)I_2.$$

Înlocuind $x$ cu $-x$ în această relație, obținem și

$$A(-x)A(x)=(4-3x^2)I_2.$$

Pentru $x=m$,

$$A(m)B(m)=A(m)\cdot \frac1m A(-m) =\frac{4-3m^2}{m}I_2.$$

La fel,

$$B(m)A(m)=\frac1m A(-m)A(m) =\frac{4-3m^2}{m}I_2.$$

Ca $B(m)$ să fie inversa lui $A(m)$, trebuie să avem

$$\frac{4-3m^2}{m}=1.$$

Deoarece $m\ne 0$, obținem

$$4-3m^2=m \Longleftrightarrow 3m^2+m-4=0.$$

Factorizăm:

$$3m^2+m-4=(3m+4)(m-1).$$

Deci

$$m=1 \quad \text{sau} \quad m=-\frac43.$$

Singura valoare întreagă nenulă este

$$\boxed{m=1}.$$

Pentru $m=1$, produsele sunt $A(1)B(1)=B(1)A(1)=I_2$, deci condiția este îndeplinită.

2.

Se consideră polinomul

$$f=X^3-3X^2-3X+a,\qquad a\in\mathbb R.$$

a) Pentru $a=1$,

$$f(X)=X^3-3X^2-3X+1.$$

Calculăm:

$$f(-1)=(-1)^3-3(-1)^2-3(-1)+1 =-1-3+3+1 =0.$$

Prin urmare,

$$\boxed{f(-1)=0}.$$

b) Fie $x_1,x_2,x_3$ rădăcinile polinomului

$$f(X)=X^3-3X^2-3X+a.$$

Din relațiile lui Viete pentru un polinom monic de gradul al treilea,

$$x_1+x_2+x_3=3, \qquad x_1x_2x_3=-a.$$

Condiția din enunț este

$$3x_1+3x_2+3x_3-x_1x_2x_3=3.$$

Scoatem factor comun în primii trei termeni:

$$3(x_1+x_2+x_3)-x_1x_2x_3=3.$$

Înlocuind relațiile lui Viete, obținem

$$3\cdot 3-(-a)=3.$$

Deci

$$9+a=3 \Longleftrightarrow a=-6.$$

Prin urmare,

$$\boxed{a=-6}.$$

c) Pentru $a=9$, polinomul este

$$f(X)=X^3-3X^2-3X+9.$$

Factorizăm prin grupare:

$$X^3-3X^2-3X+9 =X^2(X-3)-3(X-3).$$

Scoatem factor comun $X-3$:

$$f(X)=(X-3)(X^2-3).$$

Ecuația $f(X)=0$ devine

$$(X-3)(X^2-3)=0.$$

Astfel,

$$X=3 \quad \text{sau} \quad X^2=3.$$

Din $X^2=3$ rezultă

$$X=-\sqrt3 \quad \text{sau} \quad X=\sqrt3.$$

Rădăcinile polinomului sunt

$$\boxed{-\sqrt3,\ \sqrt3,\ 3}.$$

SUBIECTUL al III-lea

1.

Se consideră funcția

$$f:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad f(x)=\frac{x^2-8}{e^x}.$$

Deoarece $e^x>0$ pentru orice $x\in\mathbb R$, funcția este definită pe toată mulțimea numerelor reale.

a) Scriem funcția sub forma

$$f(x)=(x^2-8)e^{-x}.$$

Derivăm folosind regula produsului:

$$f'(x)=2x\cdot e^{-x}+(x^2-8)(-e^{-x}).$$

Deci

$$f'(x)=\bigl(2x-x^2+8\bigr)e^{-x} =\frac{-x^2+2x+8}{e^x}.$$

Factorizăm numărătorul:

$$-x^2+2x+8=(x+2)(4-x).$$

Prin urmare,

$$\boxed{f'(x)=\frac{(x+2)(4-x)}{e^x}},\qquad x\in\mathbb R.$$

b) Punctul de pe grafic corespunzător abscisei $x=0$ are ordonata

$$f(0)=\frac{0^2-8}{e^0}=-8.$$

Panta tangentei este

$$f'(0)=\frac{(0+2)(4-0)}{e^0}=8.$$

Ecuația tangentei în punctul $(0,-8)$ este

$$y-f(0)=f'(0)(x-0).$$

Deci

$$y+8=8x,$$

adică

$$\boxed{y=8x-8}.$$

c) Din punctul a),

$$f'(x)=\frac{(x+2)(4-x)}{e^x}.$$

Cum $e^x>0$ pentru orice $x$, semnul derivatei este dat de produsul $(x+2)(4-x)$. Pe intervalul $[-3,4]$, avem:

$$f'(x)<0 \quad \text{pentru } x\in[-3,-2),$$ $$f'(x)>0 \quad \text{pentru } x\in(-2,4),$$

iar

$$f'(-2)=f'(4)=0.$$

Prin urmare, $f$ este descrescătoare pe $[-3,-2]$ și crescătoare pe $[-2,4]$. Valoarea minimă pe interval este

$$f(-2)=\frac{(-2)^2-8}{e^{-2}} =\frac{-4}{e^{-2}} =-4e^2.$$

Pentru valoarea maximă, comparăm valorile de la capetele intervalului:

$$f(-3)=\frac{(-3)^2-8}{e^{-3}} =\frac{1}{e^{-3}} =e^3,$$ $$f(4)=\frac{4^2-8}{e^4} =\frac{8}{e^4}.$$

Deoarece $e>2$, avem $e^7>2^7>8$, deci

$$\frac{8}{e^4}<e^3.$$

Așadar, valoarea maximă pe $[-3,4]$ este $e^3$. Rezultă că

$$\boxed{-4e^2\le f(x)\le e^3,\qquad \forall x\in[-3,4]}.$$

2.

Se consideră funcția

$$f:(0,+\infty)\to\mathbb R,\qquad f(x)=6x+\frac{2\ln x}{x}.$$

Domeniul este $(0,+\infty)$, deoarece trebuie să avem $x>0$ pentru $\ln x$ și pentru numitorul $x$.

a) Pentru $x\in[2,3]\subset(0,+\infty)$,

$$f(x)-\frac{2\ln x}{x} =6x+\frac{2\ln x}{x}-\frac{2\ln x}{x} =6x.$$

Prin urmare,

$$\int_2^3\left(f(x)-\frac{2\ln x}{x}\right)\,dx =\int_2^3 6x\,dx.$$

Calculăm:

$$\int_2^3 6x\,dx =\left[3x^2\right]_2^3 =3\cdot 3^2-3\cdot 2^2 =27-12 =15.$$

Am arătat că

$$\boxed{\int_2^3\left(f(x)-\frac{2\ln x}{x}\right)\,dx=15}.$$

b) Pentru $x\in[1,e]$,

$$f(x)-6x=\frac{2\ln x}{x}.$$

Atunci

$$\int_1^e (f(x)-6x)\,dx =\int_1^e \frac{2\ln x}{x}\,dx.$$

Observăm că

$$\left((\ln x)^2\right)'=2\ln x\cdot \frac1x=\frac{2\ln x}{x}.$$

Deci

$$\int_1^e \frac{2\ln x}{x}\,dx =\left[(\ln x)^2\right]_1^e =(\ln e)^2-(\ln 1)^2 =1^2-0^2 =1.$$

Am arătat că

$$\boxed{\int_1^e (f(x)-6x)\,dx=1}.$$

c) Integralul este pe intervalul $[1,e^2]\subset(0,+\infty)$, deci funcția și logaritmul sunt definite. Observăm că

$$\left(f(x)\ln x\right)' =f'(x)\ln x+f(x)\cdot\frac1x =\frac{f(x)}{x}+f'(x)\ln x.$$

Astfel,

$$\int_1^{e^2}\left(\frac{f(x)}{x}+f'(x)\ln x\right)\,dx =\left[f(x)\ln x\right]_1^{e^2}.$$

Calculăm:

$$\left[f(x)\ln x\right]_1^{e^2} =f(e^2)\ln(e^2)-f(1)\ln1.$$

Cum

$$\ln(e^2)=2,\qquad \ln1=0,$$

rezultă

$$\left[f(x)\ln x\right]_1^{e^2} =2f(e^2).$$

Condiția din enunț devine

$$2f(e^2)=a f(e^2).$$

Mai mult,

$$f(e^2)=6e^2+\frac{2\ln(e^2)}{e^2} =6e^2+\frac4{e^2}>0,$$

deci putem împărți la $f(e^2)$. Obținem

$$a=2.$$

Prin urmare,

$$\boxed{a=2}.$$

Autoevaluare pentru punctaj maxim

• Toate cele 18 subpuncte au fost rezolvate în ordinea enunțului.
• Notațiile ambigue din textul extras au fost verificate pe PDF: la I.3 ecuația este $\sqrt{2-x}=\sqrt{x^2+x-1}$, iar la III.2.c limita superioară este $e^2$ și membrul drept este $a f(e^2)$.
• Au fost precizate condițiile de existență pentru radicali, logaritm și numitori, precum și condiția $m\ne 0$ la matricea $B(m)$.
• Calculele de aritmetică, ecuație cu radicali, probabilitate, geometrie analitică, trigonometrie, matrice, relații Viete, factorizare, derivare, tangentă, monotonie și integrale sunt dezvoltate explicit.
• Demonstrațiile de tip „Arătați” includ justificarea rezultatului cerut, nu doar enunțarea lui.
• Rezultatele finale au fost reverificate: $a=2$ la I.2, $x\in\{-3,1\}$, probabilitatea $\frac{7}{10}$, distanța $5$, $m=1$, $a=-6$ la polinom, rădăcinile $-\sqrt3,\sqrt3,3$, tangenta $y=8x-8$, intervalul de valori $[-4e^2,e^3]$ și $a=2$ la III.2.c.