Barem oficial BAC Mate șt. naturii 2026 · Model

SUBIECTUL I (30 de puncte)

1.

$z_1+3iz_2=4-3i+3i(1-2i)=4-3i+3i-6i^2$ (2p) $=4+6=10$ (3p).

2.

$g(3)=7$, $f(a)=3-a$ (2p). Din $3-a=3a+7$ rezultă $a=-1$ (3p).

3.

$\log_4(x^2+4)=\log_4(5x)$, deci $x^2-5x+4=0$ (3p). Rezultă $x=1$ sau $x=4$, care convin (2p).

4.

Sunt $90$ de cazuri posibile (2p) și $3$ cazuri favorabile ($14$, $22$, $41$), deci $p=\dfrac3{90}=\dfrac1{30}$ (3p).

5.

Mijlocul lui $OA$ este $M(1,4)$ (2p). Cum $M$ este și mijlocul lui $BC$, rezultă $a=2$, $b=4$ (3p).

6.

$BC=2R=8$ (2p). Cateta opusă unghiului de $30^\circ$ este $AB=\dfrac{BC}2=4$ (3p).

SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

1. a)

$A(6)=\begin{pmatrix}5&1\\-5&1\end{pmatrix}$, deci $\det(A(6))=5\cdot1-(-5)\cdot1$ (3p) $=10$ (2p).

1. b)

$A(3)=\begin{pmatrix}2&1\\-2&-2\end{pmatrix}$, iar $A(3)^2=\begin{pmatrix}2&0\\0&2\end{pmatrix}=2I_2$ (3p). Rezultă $a=2$ (2p).

1. c)

$A(m)A(2)-A(m-1)=\begin{pmatrix}0&m-5\\4-m&22-5m\end{pmatrix}$, deci $N=(m-4)(m-5)$ (3p). Acesta este produsul a două numere întregi consecutive, deci este întreg și nenegativ; prin urmare, $N\in\mathbb{N}$ (2p).

2. a)

$f(0)=0^3+a\cdot0^2-2\cdot0+2$ (3p) $=2$ (2p).

2. b)

$x_1x_2x_3=-2$, $x_1+x_2+x_3=-a$, deci expresia dată este $-2(1-a)$ (3p). Din $-2(1-a)=4$ rezultă $a=3$ (2p).

2. c)

$f(-1)=0$ conduce la $a=-3$ (2p). Atunci $f=X^3-3X^2-2X+2=(X^2-2)(X-3)-4$, deci restul este $-4$ (3p).

SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

1. a)

$f\prime(x)=e^x(x^2+x-1)+e^x(2x+1)$ (3p) $=e^x(x^2+3x)$ (2p).

1. b)

$\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{e^x+f(x)}{f\prime(x)}=\lim_{x\to0}\dfrac{e^x(x^2+x)}{e^x(x^2+3x)}=\lim_{x\to0}\dfrac{x(x+1)}{x(x+3)}$ (3p) $=\dfrac13$ (2p).

1. c)

$f\prime(x)=0$ pentru $x=-3$ sau $x=0$. Funcția este crescătoare pe $(-\infty,-3]$ și descrescătoare pe $[-3,0]$ (3p). Deci $f(x)\leq f(-3)=\dfrac5{e^3}$ pentru $x\leq0$, de unde $e^{x+3}(x^2+x-1)\leq5$ (2p).

2. a)

$\displaystyle\int_3^5\left(f(x)-\sqrt{2x^2+1}\right)dx=\int_3^5x\,dx=\left[\dfrac{x^2}2\right]_3^5$ (3p) $=\dfrac{25}2-\dfrac92=8$ (2p).

2. b)

$\displaystyle\int_1^2\dfrac{x}{(f(x)-x)^2}dx=\int_1^2\dfrac{x}{2x^2+1}dx=\dfrac14[\ln(2x^2+1)]_1^2$ (3p) $=\dfrac{\ln9-\ln3}4=\dfrac{\ln3}4$ (2p).

2. c)

$\displaystyle V=\pi\int_0^2(3x^2+1+2x\sqrt{2x^2+1})dx$ (2p) $=\pi\left[x^3+x+\dfrac{(2x^2+1)^{3/2}}3\right]_0^2=\dfrac{56\pi}3$, deci $a=56$ (3p).

---

Sursă PDF: Documentul oficial, publicat de Ministerul Educației și Cercetării.

Sursă: Arhiva oficială a Ministerului Educației și Cercetării.