Subiectul BAC Mate-info 2026 · Simulare

SUBIECTUL I (30 de puncte)

1. (5p) Se consideră numărul complex $z=2+i$. Arătați că $z+\overline z+z\cdot\overline z=9$, unde $\overline z$ este conjugatul numărului complex $z$.

2. (5p) Se consideră funcțiile $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $f(x)=2x-1$ și $g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $g(x)=x^2-4x+m$, unde $m$ este număr real. Determinați numărul real $m$ pentru care graficele funcțiilor $f$ și $g$ au exact un punct comun.

3. (5p) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $(1+\log_x2)\log_2 x=5$.

4. (5p) Se consideră $A$, mulțimea numerelor naturale de două cifre, formate cu cifre nenule. Determinați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea $A$, acesta să aibă produsul cifrelor divizibil cu $5$.

5. (5p) În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(0,5)$ și $B(4,2)$. Determinați ecuația dreptei care trece prin punctul $A$ și este perpendiculară pe dreapta $OB$.

6. (5p) Se consideră triunghiul $ABC$, dreptunghic în $A$, cu $AB=9$ și $AC=12$. Punctul $M$ este mijlocul segmentului $BC$. Arătați că distanța de la punctul $C$ la dreapta $AM$ este egală cu $7{,}2$.

SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

1. Se consideră matricea $A(a)=\begin{pmatrix}a&1&1\\1&-1&a\\3&2&1\end{pmatrix}$ și sistemul de ecuații liniare

$\begin{cases}ax+y+z=2a\\x-y+az=-4\\3x+2y+z=8,\end{cases}$

unde $a$ este număr real.

• a) (5p) Arătați că $\det(A(1))=4$.
• b) (5p) Determinați mulțimea numerelor reale $a$ pentru care matricea $A(a)$ este inversabilă.
• c) (5p) Considerăm $(x_1,y_1,z_1)$ soluția sistemului de ecuații liniare pentru $a=1$. Pentru $a=2$, determinați soluțiile $(x_0,y_0,z_0)$ ale sistemului de ecuații liniare pentru care $x_0y_0=y_1$.

2. Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $x*y=\sqrt{(x^2+2)(y^2+2)+m}$, unde $m\in[-4,+\infty)$.

• a) (5p) Pentru $m=3$, arătați că $0*1=3$.
• b) (5p) Pentru $m=7$, determinați numerele reale $x$ pentru care $x*(2x)=5$.
• c) (5p) Determinați $m\in[-4,+\infty)$ pentru care legea de compoziție „$*$” este asociativă.

SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

1. Se consideră funcția $f:(1,+\infty)\to\mathbb{R}$, $f(x)=\dfrac{e^{x-2}}{\sqrt{x-1}}$.

• a) (5p) Arătați că $f'(x)=\dfrac{e^{x-2}(2x-3)}{2(x-1)\sqrt{x-1}}$, $x\in(1,+\infty)$.
• b) (5p) Arătați că $\displaystyle\lim_{x\to2}(f(x))^{\frac1{x-2}}=\sqrt e$.
• c) (5p) Determinați mulțimea numerelor reale $m$ pentru care ecuația $f(x)=mx$ are exact două soluții.

2. Se consideră funcția $f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}$, $f(x)=\left(4x+\dfrac6{x^2}\right)\ln x$.

• a) (5p) Arătați că $\displaystyle\int_2^3\dfrac{f(x)}{\ln x}\,dx=11$.
• b) (5p) Arătați că $\displaystyle\int_1^e x(f(x)-4x\ln x)\,dx=3$.
• c) (5p) Determinați primitiva $F:(0,+\infty)\to\mathbb{R}$ a funcției $f$, pentru care axa $Ox$ este tangentă la graficul funcției $F$.

---

Sursă PDF: Documentul oficial, publicat de Ministerul Educației și Cercetării.