Subiectul BAC Mate-info 2026 · Model

SUBIECTUL I (30 de puncte)

1. (5p) Determinați numărul real $x$ pentru care numerele $x$, $8$ și $2x+1$ sunt, în această ordine, termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice.

2. (5p) Se consideră funcțiile $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $f(x)=2x+1$ și $g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $g(x)=x+4$. Determinați numărul real $a$ pentru care $(f\circ g)(a)=-a$.

3. (5p) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $2\log_5 x=\log_5(4x+5)$.

4. (5p) Se consideră mulțimea $A=\{1,3,5,7,8\}$. Determinați câte numere naturale de două cifre distincte, cu cifra zecilor impară, se pot forma cu cifre din mulțimea $A$.

5. (5p) În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(0,5)$ și $B(3,4)$. Determinați coordonatele punctului $C$ pentru care $3\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}$.

6. (5p) Se consideră triunghiul $ABC$, cu $\widehat A=\dfrac\pi2$, $\widehat C=\dfrac\pi3$ și $AE=2$, unde $E$ este punctul în care bisectoarea unghiului $C$ intersectează latura $AB$. Arătați că distanța de la punctul $B$ la dreapta $CE$ este egală cu $2\sqrt3$.

SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

1. Se consideră matricea $A(a)=\begin{pmatrix}a&0&-2\\1&1&1-a\\2&1&-2\end{pmatrix}$ și sistemul de ecuații

$\begin{cases}ax-2z=4\\x+y+(1-a)z=3\\2x+y-2z=5,\end{cases}$

unde $a$ este număr real.

• a) (5p) Arătați că $\det(A(0))=2$.
• b) (5p) Determinați mulțimea numerelor reale $a$ pentru care matricea $A(a)$ este inversabilă.
• c) (5p) Pentru $a=2$, arătați că $x_0z_0+y_0\geq0$, pentru orice soluție $(x_0,y_0,z_0)$ a sistemului de ecuații, cu $x_0$, $y_0$ și $z_0$ numere reale.

2. Pe mulțimea $M=(1,+\infty)$ se definește legea de compoziție $x*y=\dfrac{xy-1}{(x-1)(y-1)}$.

• a) (5p) Arătați că $3*5=\dfrac74$.
• b) (5p) Determinați $x\in M$ pentru care $x*x=3$.
• c) (5p) Demonstrați că $(x*2)*x>2$, pentru orice $x\in M$.

SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

1. Se consideră funcția $f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}$, $f(x)=x+\ln^2 x-x\ln x$.

• a) (5p) Arătați că $f'(x)=\dfrac{(2-x)\ln x}{x}$, $x\in(0,+\infty)$.
• b) (5p) Determinați abscisele punctelor situate pe graficul funcției $f$ în care tangenta la graficul funcției $f$ este paralelă cu axa $Ox$.
• c) (5p) Demonstrați că ecuația $f(x)=0$ are soluție unică.

2. Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $f(x)=x^2-2+\sqrt{x^2+4}$.

• a) (5p) Arătați că $\displaystyle\int_0^3\left(f(x)-\sqrt{x^2+4}\right)\,dx=3$.
• b) (5p) Arătați că $\displaystyle\int_0^{\sqrt5}\dfrac{x}{f(x)-x^2+2}\,dx=1$.
• c) (5p) Demonstrați că $\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac1{x^2}\int_0^x F(t)\,dt=0$, unde $F:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ este primitiva funcției $f$ pentru care $F(0)=0$.

---

Sursă PDF: Documentul oficial, publicat de Ministerul Educației și Cercetării.