Barem oficial BAC Mate-info 2026 · Model

SUBIECTUL I (30 de puncte)

1.

$\dfrac{x+2x+1}{2}=8$ (3p). Rezultă $x=5$ (2p).

2.

$g(a)=a+4$, $(f\circ g)(a)=2a+9$ (3p). Din $2a+9=-a$ obținem $a=-3$ (2p).

3.

$\log_5 x^2=\log_5(4x+5)$, deci $x^2-4x-5=0$ (2p). Rezultă $x=-1$, care nu convine, sau $x=5$, care convine (3p).

4.

Cifra zecilor se poate alege în $4$ moduri (2p). Pentru fiecare alegere, cifra unităților se poate alege în $4$ moduri, deci se pot forma $4\cdot4=16$ numere (3p).

5.

$\overrightarrow{OA}=5\vec j$, $\overrightarrow{OB}=3\vec i+4\vec j$, deci $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=3\vec i+9\vec j$ (3p). Atunci $\overrightarrow{OC}=\dfrac13(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB})=\vec i+3\vec j$, deci $C(1,3)$ (2p).

6.

$\widehat{ECB}=\dfrac\pi6=\widehat{EBC}$, deci $EB=EC$ și $d(B,CE)=d(C,BE)=CA$ (3p). Din $\operatorname{tg}\widehat{ACE}=\dfrac{AE}{AC}$ obținem $\dfrac1{\sqrt3}=\dfrac2{AC}$, deci $d(B,CE)=2\sqrt3$ (2p).

SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

1. a)

$A(0)=\begin{pmatrix}0&0&-2\\1&1&1\\2&1&-2\end{pmatrix}$ (2p), iar $\det(A(0))=0-2+0+4-0-0=2$ (3p).

1. b)

$\det(A(a))=a^2-3a+2$ (2p). Determinantul este zero pentru $a=1$ sau $a=2$, deci $A(a)$ este inversabilă dacă și numai dacă $a\in\mathbb{R}\setminus\{1,2\}$ (3p).

1. c)

Pentru $a=2$, soluțiile sunt $(x_0,y_0,z_0)=(\alpha,1,\alpha-2)$, cu $\alpha\in\mathbb{R}$ (3p). Atunci $x_0z_0+y_0=(\alpha-1)^2\geq0$ (2p).

2. a)

$3*5=\dfrac{3\cdot5-1}{(3-1)(5-1)}$ (3p) $=\dfrac{14}{2\cdot4}=\dfrac74$ (2p).

2. b)

$x*x=\dfrac{x^2-1}{(x-1)^2}=\dfrac{x+1}{x-1}$, pentru orice $x\in M$ (3p). Din $\dfrac{x+1}{x-1}=3$ rezultă $x=2$, care convine (2p).

2. c)

$x*2=\dfrac{2x-1}{x-1}$, deci $(x*2)*x=\dfrac{2x^2-2x+1}{x(x-1)}$ (3p) $=2+\dfrac1{x(x-1)}>2$, pentru orice $x\in M$ (2p).

SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

1. a)

$f\prime(x)=1+\dfrac{2\ln x}{x}-\ln x-1$ (3p) $=\dfrac{(2-x)\ln x}{x}$, $x>0$ (2p).

1. b)

Tangenta în $A(a,f(a))$ este paralelă cu $Ox$ dacă și numai dacă $f\prime(a)=0$, $a>0$ (2p). Din $(2-a)\ln a=0$ rezultă $a=1$ sau $a=2$ (3p).

1. c)

Derivata este nepozitivă pe $(0,1]$, nenegativă pe $[1,2]$ și negativă pe $(2,+\infty)$. Funcția este descrescătoare, crescătoare, respectiv strict descrescătoare pe aceste intervale (2p). Cum $f(1)=1$, $\lim_{x\to+\infty}f(x)=-\infty$ și $f$ este continuă, ecuația $f(x)=0$ are soluție unică (3p).

2. a)

$\displaystyle\int_0^3\left(f(x)-\sqrt{x^2+4}\right)dx=\int_0^3(x^2-2)dx=\left[\dfrac{x^3}3-2x\right]_0^3$ (3p) $=9-6=3$ (2p).

2. b)

$\displaystyle\int_0^{\sqrt5}\dfrac{x}{f(x)-x^2+2}dx=\int_0^{\sqrt5}\dfrac{x}{\sqrt{x^2+4}}dx=\left[\sqrt{x^2+4}\right]_0^{\sqrt5}$ (3p) $=3-2=1$ (2p).

2. c)

Aplicând de două ori regula lui l’Hôpital și folosind $F\prime=f$, obținem $\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{\int_0^x F(t)dt}{x^2}=\lim_{x\to0}\dfrac{F(x)}{2x}=\lim_{x\to0}\dfrac{F\prime(x)}2$ (3p) $=\dfrac{f(0)}2=0$ (2p).

---

Sursă PDF: Documentul oficial, publicat de Ministerul Educației și Cercetării.

Sursă: Arhiva oficială a Ministerului Educației și Cercetării.