Subiectul BAC Mate-info 2025 · Simulare / model

SUBIECTUL I (30 de puncte)

1. (5p) Se consideră numerele complexe $z_1 = 4 + i$ și $z_2 = 2 - 4i$. Arătați că $i \cdot z_1 + z_2 = 1$.

2. (5p) Se consideră funcția $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = x^2 - 3x + 5$. Determinați numerele reale $a$ pentru care punctul $A(a,5)$ aparține graficului funcției $f$.

3. (5p) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\log_6(7x - 5) = \log_6(x + 1) + \dfrac{1}{\log_x 6}$.

4. (5p) Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta să fie multiplu impar al lui $9$.

5. (5p) În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(2,0)$, $B(2,4)$ și $C(5,a)$, unde $a$ este număr real. Determinați numărul real $a$, știind că dreptele $OB$ și $AC$ sunt paralele.

6. (5p) Se consideră triunghiul $ABC$, cu $AB = 6$, $BC = 10$ și $\cos B = \dfrac{4}{5}$. Arătați că aria triunghiului $ABC$ este egală cu $18$.

SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

1. Se consideră matricele $I_3 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$, $A = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ -1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \end{pmatrix}$ și $B(x) = \begin{pmatrix} 1 & x & 0 \\ 0 & 1 & x \\ -x & 0 & 1 \end{pmatrix}$, unde $x$ este număr real.

• a) (5p) Arătați că $\det A = 1$.
• b) (5p) Arătați că $A - B(x) \cdot A = xI_3$, pentru orice număr real $x$.
• c) (5p) Pentru fiecare număr real $x$ se consideră matricea $C(x)$ astfel încât $A \cdot C(x) = B(x)$. Arătați că $C(x) - C(y) = (y - x)A$, pentru orice numere reale $x$ și $y$.

2. Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $x * y = x^2 y + xy^2 + x + y$.

• a) (5p) Arătați că $1 * 3 = 16$.
• b) (5p) Determinați numerele reale nenule $x$ pentru care $x * \dfrac{2}{x} = 9x$.
• c) (5p) Determinați perechile $(m, n)$ de numere întregi, cu $m \le n$, pentru care $m * n = 1$.

SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

1. Se consideră funcția $f: (0,+\infty) \to \mathbb{R}$, $f(x) = \dfrac{\ln x}{x^3}$.

• a) (5p) Arătați că $f'(x) = \dfrac{1 - 3\ln x}{x^4}$, $x \in (0,+\infty)$.
• b) (5p) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre $+\infty$ la graficul funcției $f$.
• c) (5p) Determinați mulțimea numerelor reale $m$ pentru care ecuația $f(x) = m$ are cel puțin o soluție.

2. Se consideră funcția $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = e^x + x^2 - 1$.

• a) (5p) Arătați că $\displaystyle\int_1^4 \bigl(f(x) - e^x\bigr)\,dx = 18$.
• b) (5p) Arătați că $\displaystyle\int_1^2 \dfrac{e^x}{f(x) - x^2}\,dx = \ln(e + 1)$.
• c) (5p) Demonstrați că $\displaystyle\int_0^1 \dfrac{x}{f(x) + 1}\,dx \le 1 - \dfrac{2}{e}$.

---

Sursă PDF: 2025_E_c_Matematica_SM_M_mate-info_Model_Subiect_LRO.pdf — distribuit oficial de Ministerul Educației, arhivat pe pro-matematica.ro.