Subiectul BAC Mate-info 2025 · Simulare / model

SUBIECTUL I (30 de puncte)

1. (5p) Determinați termenul $b_1$ al progresiei geometrice $(b_n)_{n \ge 1}$, în care $b_3 = 40$ și $b_4 = 80$.

2. (5p) Determinați mulțimea numerelor reale $m$ pentru care graficul funcției $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = x^2 - 2x + m$ intersectează axa $Ox$ în două puncte distincte.

3. (5p) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $3^x + 2 \cdot 3^{x+1} = 63$.

4. (5p) Determinați probabilitatea ca, alegând un număr $n$ din mulțimea numerelor naturale de două cifre, $n^2$ să fie număr natural de trei cifre.

5. (5p) În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(1, 2)$, $B(7, 4)$ și $C$, astfel încât $\overrightarrow{AB} = 2\overrightarrow{AC}$. Determinați coordonatele punctului $D$ pentru care $\overrightarrow{OD} = \overrightarrow{CB}$.

6. (5p) Se consideră triunghiul ascuțitunghic $ABC$, cu $AB = 10$, înălțimea $AD = 8$ și distanța de la punctul $D$ la dreapta $AC$ egală cu $4\sqrt{2}$. Arătați că aria triunghiului $ABC$ este egală cu $56$.

SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

1. Se consideră matricea $A(a) = \begin{pmatrix} a & 1 & -a \\ 3 & 1 & -2 \\ 1 & -3 & a \end{pmatrix}$ și sistemul de ecuații $\begin{cases} ax + y - az = 1 \\ 3x + y - 2z = 1 \\ x - 3y + az = -3 \end{cases}$, unde $a$ este număr real.

• a) (5p) Arătați că $\det(A(0)) = -2$.
• b) (5p) Determinați mulțimea numerelor reale $a$ pentru care sistemul are soluție unică.
• c) (5p) Pentru $a = 1$, determinați soluțiile $(x_1, y_1, z_1)$ și $(x_2, y_2, z_2)$ ale sistemului de ecuații pentru care $y_1 = x_2$ și $z_1 = y_2$.

2. Pe mulțimea $M = (0, +\infty)$ se definește legea de compoziție $x \circ y = \sqrt{xy} + \dfrac{1}{\sqrt{xy}} + \dfrac{x + y}{2} - 2$.

• a) (5p) Arătați că $1 \circ 4 = 3$.
• b) (5p) Determinați $x \in M$ pentru care $x \circ x = 1$.
• c) (5p) Demonstrați că mulțimea $[1, +\infty)$ este parte stabilă a mulțimii $M$ în raport cu legea de compoziție „$\circ$”.

SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

1. Se consideră funcția $f: (0, +\infty) \to \mathbb{R}$, $f(x) = \dfrac{2x - 2}{x + 2} + \ln \dfrac{x + 2}{x}$.

• a) (5p) Arătați că $f'(x) = \dfrac{4(x - 1)}{x(x + 2)^2}$, $x \in (0, +\infty)$.
• b) (5p) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre $+\infty$ la graficul funcției $f$.
• c) (5p) Determinați numerele naturale $n$ pentru care ecuația $f(x) = n$ nu are soluții.

2. Se consideră funcția $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = \dfrac{x^2}{2x^2 + 1}$.

• a) (5p) Arătați că $\displaystyle\int_{-1}^{2} (2x^2 + 1) \cdot f(x)\,dx = 3$.
• b) (5p) Arătați că $\displaystyle\int_0^2 \sqrt{f(x)}\,dx \le 1$.
• c) (5p) Pentru fiecare număr natural nenul $n$ se consideră numărul $I_n = \displaystyle\int_0^1 \dfrac{x^n}{f\left(\sqrt{e^x}\right)}\,dx$. Arătați că $(n + 1) \cdot I_n - I_{n+1} = \dfrac{2(n + 1)}{n + 2} + \dfrac{1}{e}$, pentru orice număr natural nenul $n$.

---

Sursă PDF: 2025_E_c_Matematica_SM_M_mate-info_Simulare_XII_Subiect_LRO.pdf — distribuit oficial de Ministerul Educației, arhivat pe pro-matematica.ro.