Subiectul BAC Mate-info 2025 · Iunie–Iulie

SUBIECTUL I (30 de puncte)

1. (5p) Se consideră numerele complexe $z_1 = 1 - i$ și $z_2 = 2 + i$. Arătați că $2z_1 + iz_2 = 1$.

2. (5p) Se consideră funcția $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = x + 3$. Determinați numărul real $a$ pentru care $(f \circ f)(a) = 9$.

3. (5p) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\sqrt{2x^2 - 3x + 2} = x$.

4. (5p) Determinați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta să fie divizor al numărului $2^6$.

5. (5p) În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(0,1)$, $B(5,0)$, $C(6,3)$ și $D(a,b)$, unde $a$ și $b$ sunt numere reale. Determinați numerele reale $a$ și $b$, știind că segmentele $AC$ și $BD$ au același mijloc.

6. (5p) Se consideră triunghiul $ABC$, dreptunghic în $A$, cu $AB = 2$ și $\operatorname{tg} B = 3$. Arătați că $BC = 2\sqrt{10}$.

SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

1. Se consideră matricea $A(x) = \begin{pmatrix} 2 - 3x & 0 & x \\ 0 & 2 & 0 \\ -9x & 0 & 2 + 3x \end{pmatrix},$ unde $x$ este număr real.

• a) (5p) Arătați că $\det(A(1)) = 8$.
• b) (5p) Arătați că $A(x) \cdot A(y) = 2A(x + y)$, pentru orice numere reale $x$ și $y$.
• c) (5p) Determinați numerele reale $x$ pentru care $(A(x) + A(3x)) \cdot A(2x) = 4A(x^2)$.

2. Se consideră polinomul $f = aX^3 + 3X^2 - aX - 6$, unde $a$ este număr real nenul.

• a) (5p) Arătați că $f(1) = -3$, pentru orice număr real nenul $a$.
• b) (5p) Pentru $a = 1$, determinați câtul și restul împărțirii polinomului $f$ la polinomul $g = X^2 + 3X - 1$.
• c) (5p) Determinați numărul real nenul $a$ pentru care $(1 + x_1)(1 + x_2)(1 + x_3) = 1$, unde $x_1$, $x_2$ și $x_3$ sunt rădăcinile polinomului $f$.

SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

1. Se consideră funcția $f: (0, +\infty) \to \mathbb{R}$, $f(x) = 2x + \ln\dfrac{x}{x + 2}$.

• a) (5p) Arătați că $f'(x) = \dfrac{2(x + 1)^2}{x(x + 2)}$, $x \in (0, +\infty)$.
• b) (5p) Determinați ecuația asimptotei oblice spre $+\infty$ la graficul funcției $f$.
• c) (5p) Demonstrați că funcția $f$ este bijectivă.

2. Se consideră funcția $f: (-1, +\infty) \to \mathbb{R}$, $f(x) = \dfrac{x^2}{(x + 1)^3}$.

• a) (5p) Arătați că $\displaystyle\int_0^3 f(x)(x + 1)^3\,dx = 9$.
• b) (5p) Arătați că $\displaystyle\int_0^1 \sqrt{f(x)(x + 1)}\,dx = 1 - \ln 2$.
• c) (5p) Arătați că aria suprafeței plane delimitate de graficul funcției $g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $g(x) = \dfrac{f(e^x)}{e^x}$, axa $Ox$ și dreptele de ecuații $x = -1$ și $x = 1$ este egală cu $\dfrac{e - 1}{2(e + 1)}$.

---

Sursă PDF: 2025_E_c_Matematica_S1_M_mate-info_Subiect_01_LRO.pdf — distribuit oficial de Ministerul Educației, arhivat pe pro-matematica.ro.