Subiectul BAC Mate-info 2025 · Sesiunea specială

SUBIECTUL I (30 de puncte)

1. (5p) Determinați termenul $b_1$ al progresiei geometrice $(b_n)_{n\ge 1}$, în care $b_2 = 20$ și $b_3 = 100$.

2. (5p) Se consideră funcțiile $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = 4x + 3$ și $g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $g(x) = x - 3$. Determinați numărul real $a$ pentru care $f(a) = g(a)$.

3. (5p) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $9^x \cdot 3^3 = 3^{x+2}$.

4. (5p) Determinați probabilitatea ca, alegând un număr $n$ din mulțimea numerelor naturale de două cifre, $n$ să fie număr natural par.

5. (5p) În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(1,3)$, $B(6,2)$ și $C(4,a)$, unde $a$ este număr real. Determinați numărul real $a$ pentru care dreptele $AC$ și $OB$ sunt paralele.

6. (5p) Se consideră triunghiul $ABC$, dreptunghic în $A$, cu aria egală cu $32$ și $BC = AB\sqrt{2}$. Arătați că $AC = 8$.

SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

1. Se consideră matricele $I_3 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \quad \text{și} \quad M(x) = \begin{pmatrix} 2x & 3x & -3 \\ -x & -2x & 1 \\ 0 & 0 & x+1 \end{pmatrix},$ unde $x$ este număr real.

• a) (5p) Arătați că $\det(M(0)) = 0$.
• b) (5p) Arătați că $M(x) \cdot M(y) - xyI_3 = (x + y + 1)M(0)$, pentru orice numere reale $x$ și $y$.
• c) (5p) Determinați numărul real $x$ pentru care $M(1) \cdot M(x) - M(2) \cdot M\left(\dfrac{x}{2}\right) = 2M(0)$.

2. Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă $x * y = 5(x - 1)(y - 1) + 1$.

• a) (5p) Arătați că $1 * 3 = 1$.
• b) (5p) Arătați că $e = \dfrac{6}{5}$ este elementul neutru al legii de compoziție „$*$”.
• c) (5p) Determinați perechile $(m, n)$ de numere naturale pentru care $\dfrac{m}{25}$ este simetricul elementului $n$ în raport cu legea de compoziție „$*$”.

SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

1. Se consideră funcția $f: (0, +\infty) \to \mathbb{R}$, $f(x) = \dfrac{2x - 2 + \ln x}{x}$.

• a) (5p) Arătați că $f'(x) = \dfrac{3 - \ln x}{x^2}$, $x \in (0, +\infty)$.
• b) (5p) Arătați că $\displaystyle\lim_{x \to 1} \frac{f(x)}{\ln x} = 3$.
• c) (5p) Determinați cel mai mare număr întreg $m$ pentru care ecuația $f(x) = m$ are cel puțin o soluție.

2. Se consideră funcția $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = \dfrac{x + 4}{e^x}$.

• a) (5p) Arătați că $\displaystyle\int_0^2 f(x)e^x\,dx = 10$.
• b) (5p) Arătați că $\displaystyle\int_0^1 f(x)\,dx = 5 - \dfrac{6}{e}$.
• c) (5p) Pentru fiecare număr natural nenul $n$ se consideră numărul $I_n = \displaystyle\int_0^1 \frac{x^n}{f(x)}\,dx$. Arătați că $I_{n+1} + 4I_n \le \dfrac{e}{n + 1}$, pentru orice număr natural nenul $n$.

---

Sursă PDF: 2025_E_c_Matematica_SS_M_mate-info_Subiect_03_LRO.pdf — distribuit oficial de Ministerul Educației, arhivat pe pro-matematica.ro.